D'UN FUSEAU INFINIMENT PETIT

comme pôle. L*aire élémentaire mnnfm' aura pour mesure le produit mm' x mn, et son moment sera mm' x mn x mp. On aura donc

s [mm' X mn X wp) ^^ 2(mm'Xm/i) * '

les sommes devant être étendues à toute la surface PAA'.

Soit POm=e,- POA=:a; angle APA' = rf9; enfin OP = OA = R.

Il \icndra

mp = R sin Ô,

mn = mpxdf=: Rsinôrfç».

Les intégrales devront être prises enire les limites 0 = 0, e = a:

'^sïn* dded:^

Le facteur dç est constant, et disparait, ainsi que le facteur R' ; l'équation prend la forme

sin*0rfÔ ,/n Ç = R.

smQdd

Or

Donc enfin

Jsii

JsinOdG = 1 — cosa,

s\n*ede = ^a -Jsin2a.

i « 2a — sin 2a Ç = ^RX

"4 1 — cos

S'il s'agit, par exemple, du fuseau entier, qui s'étend du pôle P au pôle opposé, on fera a=:x, et il viendra

ç = ^Rxt^ = RX^

298 CENTRE DE ORAVITÉ

Il faut bien se souvenir que celte formule suppose le dièdre APA'=î=d(p infiniment petit. S'il s'agissait d'un dièdre quelconque, il faudrait prendre le centre de gravité de l'arc de cercle formé par les centres de gravité individuels des fuseaux infiniment petits dans lesquels on aurait partagé le fuseau donné.

CENTRE DE GRAVITÉ d'uN VOLUME HOMOGÈNE.

196. Le centre de gravité d'un cylindre homogène, à base circulaire ou elliptique, terminé à deux plans parallèles, est situé au milieu de Taxe du solide, ou de la droite qui joint les centres des bases.

197. Soit SAB un cône homogène; S son sommet^ AB sa base, et G le centre de gravité de sa base. Si nous menons une infinité de plans équidistants, parallèles à la base, entre le point S et le plan AB, ces plans couperont le cône suivant, des sections semblables etsemblablement placées par rapport au

point S ; les centres de gravité des sections, étant des points homologues, seront tous situés sur la droite SG.

Considérons deux sections voisines mti, m'n'^ et soient g, g' leurs centres de gravité. Du points abaissons sur le plan AB une perpendiculaire SH, qui sera perpendiculaire aux plans de toutes les sections. Puis prenons les moments des poids des volumes élémentaires compris entre deux sections consécutives, par rapport à un plan PQ, mené par le point S parallèlement à la base. Appelons B la surface de la base AB, et H la hauteur totale SH. Posons enfin Sft=ic, distance de la tranche mnn'm' au plan PQ.

Fig. 178.

D'UxN CONE HOMOGÈNE. 299

La surface de la section mn sera fournie par la proportion

Elle est égale à -nr ♦ ^^ ^® volume de la tranche est

Son moment par rapport au plan PQ est

et la distance Ç du centre de gravité au même plan est par conséquent

r Bx^dx ^H

Bx^dx / x*dx

. -lis- c/0

x^dx

Le centre de gravité du cône est donc situé dans un plan parallèle à la base AB, mené à une distance du sommet égale aux trois quarts de la distance du sommet à la base.

D'un autre côlé, le centre de gravité d^une tranche élémentaire mnm'n',, réduite à une épaisseur infiniment petite, est infiniment voisin du point g, centre de gravité de la section mn qui lui sert de base. Les centres, de gravité des tranches dans lesquelles on a décomposé le cône sont tous sur la droite SG. Le centre de gravilé de l'ensemble est donc aussi sur cette droite, et par suite, le point cherché est le point F, pris sur la droite SG, aux trois quarts de la distance SG à partir du point S.

d98. Les mêmes raisonnements s'appliquent à la pyramide. Donc : V le centre de gravité d'une pyramide quelconque

homogène est aux t, à partir du sommet, de la droite qui joint

le sommet au centre de gravité de la base; Q"* les quatre droites quiy dans un tétraèdre^ joignent les sommets aux centres de gra-

vite des faces opposées, se coupent en un même points qui est le centre de gravité du tétraèdre, et qui partage chaque ligne de jonction en deux segments dont le rapport est égal au nombre 3.

Il est facile de démontrer aussi que le centre de gravité d'un tétraèdre homogène coïncide avec le centre de gravité de quatre poids égaux, concentrés en ses sommets; comme corollaires de ce théorème, on peut déduire les propositions suivantes : le centre de gravité d'un tétraèdre homogène est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées, et les trois droites qui joigtient les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre concourent en un même point, qui les divisé chacune en deux parties égales.

De même, le centre de gravité d'un triangle homogène coïncide avec le centre de gravité de trois poids égaux concentrés en ses sommets.