CENTRE DE GRAVITÉ DU TRONC DE PYRAMIDE OU DE CÔNE
199. 1° Considérons d'abord un tronc de pyramide triangulaire, compris entre deux plans, parallèles ABC, DEF ; les
arêtes DC, BE, AF, prolon-
gées vont se couper en un même point S, sommet de la pyramide entière.
Rappelons la méthode suivie dans la géométrie pour obtenir la mesure du vohime du tronc de py-.
ramide. Par un des sommets E de la petite base, on mène deux plans, Fun EÂD, passant par la diagonale AD de la face latérale opposée, l'autre EAC, passant par le côté de la grande base appartenant à la même
Fig. 179.
D'UN TRONC DE PYRAMIDE. 30i
fece. Ces deux plans partagent le tronc de pyramide en trois pyramides triangulaires ADEF, EADC, EADC; la première a pour' base la petite base du tronc; la seconde, la grande base; elles ont toutes deux pour hauteur la hauteur même du tronc ; la troisième peut être transformée, sans altération de son \olume, en une pyramide ayant pour base ADC, et pour sommet le point K, intersection de l'arête AP avec une parallèle EK menée à l'arête AF ; on peut la considérer comme ayant pour sommet le point D, et pour base le triangle ACK, dont la surface lest moyenne proportionnelle entre la grande base et la petite; cette troisième pyramide est donc ramenée à avoir la hauteur du tronc.
Appelons donc H la hauteur du tronc, ou la distance des plans ABC, DEF ; 6 la grande base, b la petite.
Les trois pyramides auront respectivement pour volumes,
la pyramide ADEF, =bU,
la pyramide EABC, ^ =BH,
la pyramide EADC, équivalente à DACK, =Hv/fi^.
Le centre de la première pyramide est à une distance du
plan EFD égale à ^H, et à une distance du plan ABC égale à
iH; de même, le centre de la seconde est à des distances des
3 1 mômes plans respectivement égales à t H et ^ H. Pour le cen-
^ tre de gravité de la troisième, remarquons qu'en vertu d'un corollaire indiqué tout à Theure (§ 199), il est situé au milieu g de la droite IL qui jpint les milieux I et L des deux arêtes opposées ED, AC dans le tétraèdre EADC ; il est donc dans le plan mené à égale distance des plans des deux bases, et sa distance à chacun des deux plans est ^ H. La somme des moments des poids des trois pyramides par
rapport au plan EFD est égale au produit du poids total du tronc par la distance x de son centre de gravité à ce plan, et nous avons Téquation
a;xV = ÎMIx|H-|-^BHx|u-fÎHv^B6x^H
en appelant V, pour abréger, le volume du tronc, égal à
^H (fc 4- B + \JBb)' Le solide étant supposé homogène, nous o
avons pu en effet remplacer dans l'équation des moments les
poids par les volumes qui leur sont proportionnels. Appelons
y la distance du centre de gravité au plan de la base ABC ;
nous aurons de même . ,
yxV=gftHx|H4-|BHX^H+ÎHv/B5x|lï =.H'(B-|-3&4-2v^B6).
Djjnc
Cette équation fait connaître le rapport des distances du centre de gravité aux plans des bases, et permet par suite de conduire parallèlement à ceux-ci un plan qui contienne le point cherché; il se trouvera à l'intersection de ce plan avec la droite qui joint les centres de gravité G, G' des deux bases/
2° La même formule s'applique à un tronc de pyramide à base quelconque.
Soit ABCDEabcde le tronc de pyramide oblenu en coupant la pyramide SABCDE par un plan abcde parallèle à la base ABCDE.
Construisons dans le plan de la base un triangle MNP équivalent au polygone ABGDE ; puis prenons un point S' dans le plan mené par le sommet S parallèlement au plan de la base. Nous formons ainsi la pyramide S'MNP, dans laquelle le plan
