D'UN TRONC DE PYRAMIDE

abcde prolongé détermine une section mjip ; le tronc triangulaire MNPpmn est équivalent au volume donné, et les sections faites dans ces deux solides par des plans parallèles aux bases sont équivalentes. Si l'on décompose les deux trônes en tranches infiniment minces, les volumes* de ces Iranches, et leurs distances aux points S et S', seront respectivement les mêmes; les sommes des moments par rapport aux points S

et S' seront aussi égales, et par suite, les centres de gravité des deux troncs sont situés dans un même plan parallèle aux bases. La Formule démontrée pour le tronc de pyramide triangulaire MNPpmn, s'applique donc sans modification au tronc de pyramide équivalent ABCDEeabcd.

On remarquera que dans cette formule on peut remplacer les surfaces, B et fc, des deux bases, par les carrés de deux arêtes homologues. Les sections ABCDE, abcde étant semblables, on a en effet

3*" La formule s*applique enfin à un tronc de cône ; car le cône est la limite vers laquelle tend une pyramide inscrite à mesure qu'on multiplie le nombre des côtés de sa base.

200. L'analyse conduirait aux mêmes conséquences. Si Ton appelle h et h' les distances des bases B et fc du tronc au sommet S de la pyramide ou du cône, x la distance au môme point

30i GEiSTRE DE GHAVITÈ

d'une tranche quelconque faile dans le tronc par un plan parallèle aux bases, et § la distance du plan qui contient le centre de gravité cherché, Véqualion des moments donnera

Jh'

La hauteur du tronc est la différence h — h'.

Les distances du centre de gravité aux plans des bases sont respectivement égales à Ç — h' et h — Ç. Enfin

Donc

l — h' l /t> — h^ 5/t4 — Zh'*' — W/t^ + 4/1-^

■"A*H-3A'* — 4A'Vi'

Cette fraction peut se simplifier par la suppression à ses deux termes du facteur commun {h — h')'; il vient en faisant les divisions

et remplaçant dans les deux termes ainsi simplifiés, qui sont ho nogônes par rapport à fc et h', les quantités h et hf par les quanlitéi proporlionnelles yjH et y^ï, on retrouvera la formule déj'i obtenue

D'UN SEGMENT SPUÉKIQUE.

CENTRE DE GRAVITÉ d'uN SEGMENT DE SPHÈRE A UNE BASE.

204. Soit PBA le segment de sphère donné, BA le plan de sa base, P le pôle du pelit cercle AB. Le centre de gravité cherché est situé sur la droite OP, à une dislance Ç que nous déterminerons par le théorème des moments.

Prenons les moments par rapport au plan MN conduit par le point 0, perpendiculairement à OP.

Soit

la tranche infiniment petite pqp'q' a pour mesure

en appelant y Tordonnée mp du cercle PA. ''''''•

L'équation du cercle est x* -H y* = R% R étant le rayon OA.

Le volume Ae la tranche est x (R* — x^)dx. L'abscisse Ç du centre de gravité est égale à

j.XP' m

Tt(R* — X*^(lx

Faisons OC = a; c'est la distance du centre de la sphère au plan AB qui limite le segment :

/;,».-. •,-=h-fl:=(.^-ç)-(--f)

=; = X(m5-.5R«rt4-a');

Y^ (Ri - x^xdx = [l.*|* - jf = J X [(2R* - R*) - (2R«a* - «♦)] = ^(R*— 2R«a* + fl*);