IX. -^ Mte. QOLLlOKQfS
et par suite
,3 R* — 2R«fl«-ffl* *~'4 2R» — 3R«a4-a**
Les deux termes de la fraction s'annulent par a=R puisque cette supposition fait évanouir à la fois les deux intégrales; ils admettent donc le facteur commun R — a. Supprimant ce facteur, on trouve une nouvelle fraction dont les deux termes s'annulent encore pour R=a, et qu^on peut simplifier de nouveau par la suppression du. facteur R — a ; et l'on obtient en définitive
*""4^ 2R + « ""Î^ÎR + a*
Si Ton fait a = Oy on obtient le centre de gravité de la moitié de la sphère :
CENTRE DE GRAVITÉ d'uN SEGMENT DE PARABOLOÎDE DE RÉVOLUTION.
202. Le paraholqide de rA)olution' s'obtient en faisant tourner autour de son axe SA la parabole SMB. On coupe la surface par un plan CAB normal à Taxe, et on demande le centre
de gravité du volume homogène compris entre ce plan et la surface CNSiMB.
Le centre de gravité de ce volume étant situé sur Taxe SA« il suffit de déterminer sa dislance
Fig. 182. • . n
au pomt S. ' Menons deux plans infiniment voisins NPM, npm^ qui inter^ ceptent dans ce volume un élément cylindrique dont la hauteur est Pp, et dont la base est un cercle ayant pour rayon PM. Le volume de ce cylindre est donc wxTM^xPp; nous pouvons, à cause de l'homogénéité, prendre ce volume
D'UN PÂRÀBOLOlDE DE REVOLUTION. 307
pour la mesure du poids ; le moment, par rapport au point S, sera
ttXPM^XP/JXSP,
ou bien, en faisant SP=x, PM = y\ Vp = dx,
Posons SA = a. La distance Ç du centre de gravité au point S s'obtiendra au moyen de l'équation
/ Tty^xdx I y^xdx
/ vy^dx 1 y*dx
Or réquation de la parabole est y'=:2px, en appelant p le paramètre de la courbe.
Remplaçons y* par sa valeur; il viendra, en supprimant le facteur commun 2p,
£xdx ft)
Le volume du segment est d'ailleurs égal à
/ . Tzyhix=^ I 2itj)xdx = it X ;>«* = ô« X it AB", .
ou à la moitié du cylindre qui aurait pour base le cercle C6, et pour hauteur SA.
Ces résultats s'étendent sans difficulté au parabolo'ide dans lequel les sections circulaires CB seraient remplacées par dos ellipses «
