VI

^y^dx

Or les équations de la courbe donnent

rfa: = ft{l— cosô)</e, 2/rfa: = R«(l — cosOlMô, xydx = R5(1 — cose)«(0 — sinô)de, yVa: = R5(1— cos6)Me.

Appelons ô' la valeur de 0 qui correspond h x=a\ il viendra

f (1— cosô)^/ô

I (1 — cosoy^dl

/ (t— vos 0)* do Jù

Ces diverses intégrales sont faciles à obtenir. Développons les carrés et les produits indiqués :

(1 — cose)« = 1 — 2cos9 4- cos«e, (1 — cos6)' = 1 — Scose -h Scos'ô — cos'0, (1 — cos6]*(0— sin6)=0— 2ecosO-hecos'9— sin9-f-2cosesin6 — cos*Osinô.

310 CENTRE DE GRAVnË

Les intégrales de certains termes s'obtiennent immédiatement:

f cas 0d6=z sine,

/sin0rfô.= — cosft, /2 cos $ sin Qd9 = sin* 0 ,

/ cos* B siri erf9 = — 5 cos"» 0»

Il reste à trouver /cos*8dô, /cos*ede, /Ocosôdô, /ecos*8cf6. Nous avons déjà obtenu (§ 181''") l'intégrale

/sin«ô<îô = ^0 — jsin2d.

Le même calcul donnerait

/cos«0«/0 = îo-hisin2O.

Pour avoir /cos'ôdO, observons que

cos'ô = COS0 X cos»d = (1 — sin*ô) cosô .

Donc

Jco^$d$ = fcosQdO ~ /sin* 0 cos WO = sin 0 — ^s'ur 0.

Les intégrales /ôcosôdO et /ôcos*6d6 s'obtiennent en appliquant le procédé de Vintégration par parties :

fcos$dd xe = ôsjnô — fsmOdB = Ôsinô + cosô, /cos«0d0xe = ôx(|o + ^sin2ô)— r^|o+jsin2ô)c/0

= Ç + |siu20-j6» + gCOs2ô .

= Çh- ■jsln20-h|cos20.

Il ne reste plus qu'à réunir ces différents termes, après les

DE U GYaOlOE. S11

avoir multipliés par les coefficients convenables ; il vient, en indiquant seulement les limites,

[fl — 2sinO + 20 + jSinî^9| ô — 3sinô4-5fl-4-Tsin2fl— sinfl-f-jSinSdj