CONSTRUCTION GRAPHIQUE
et
zy = az'.
Par suite
Jzydy = Jaz'dy = afz'dy == « X aire rftr^nr,
La distance j/^est donc à la distance 00' dans le rapport des deux aires représentées sur la figure. La con-. structionpeut d'ailleurs être variée de bien des manières différentes. •
Si du contour rpiV on déduit, par la môme construction, un second contour r[iV', déterminant une troisième aire, on aura, en appelant z" la dimension \ffn de la bande terminée à ce contour,
az" = z^y,
par conséquent
aH" •=a%*yz=zzy.
De sorte que l'aire comprise entre le nouveau contour r^f' et la p ri^îonf mr' du contour donné, multipliée par a*, représentera l'intégrale 'fyhdy, étendue à la totalité de l'aire du contour primitif.
La même consiruclion répétée une troisième fois ferait connaître, au facteur a^ près, une aire proportionnelle à l'intégrale/j/*:rdî/, et ainsi de suite indéfiniment.
L'évaluation des aires planes se fait très-rapidement au moyen du planimètre d'Amsler; Vmtégromètre de M. Deprez, fondé sur les mêmes principes cinématiques, donne directement l'aire, les coordonnées du centre de gravité, et le moment d'inertie à* une surface plane, c'est-à-dire les intégrales f^y^fy^dy, fyhdy. Pour la description et la théorie de ces appareils, nous renverrons à des notes insérées dans les Annales des Ponts et Chaussées^ 1868, tome XVI, page 224, et 1872, tome lit, page 225.
DBS CENTRES DE GRAVITÉ. 3i7
THÉORÈME DE GULDIN.
206. Le théorème de Guldin, connu aussi sous le nom de théorème de Pappus^ donne le volume engendré par une figure plane, tournant autour d'un axe. fixe tracé dans son plan, en fonclion du chemin décrit par le centre de gravité de celle figure, ou bien la superficie d'une surface de révolution engendrée par une ligne plane tournant autour d -une droite menée dans son plan, lorsqu'on connaît le chemin décrit par le centre de gravité de cette ligne,
Inversement, le théorème de Guldin permet quelquefois de déterminer le centre de gravité d'une aire plane ou dune ligne.
Voici l'énoncé de ce théorème : .
1"* Le volume engendré par une figure plane A» quatid elle fait une révolution entière autour d^un axe CB, tracé dans son plan {en dehors de la figure)^ est égal au produit de V aire A par la circonférence décrite par le centre de gravité G de celte aire.
- Si on appelle A l'aire de la figure, V le volume engendré par sa révolution, et H la distance EG du centre de gravité de l'aire à l'axe CB, on aura
V = 27rHA.
Considérons, en effet, le volume engendré par l'élément rectangulaire mnpq^ pris où l'on voudra dans la figure A, mais tracé de manière que les
• Fia 18S
côtés wn, pq soient perpendiculaires à Taxe BC, et les deux autres côtés, mq, npj parallèles au même axe-. Prolongeons les côtés mn, pq jusqu'à la rencontre .de l'axe en r et s; le volume engendré par le petit reclangle mnpq sera la différence de deux cylindres droits, dont la hauteur commune est r^, et dont les rayons sont pr et qr ; le volume cherché est donc
n{pr*'^gP)xrs,
expression qu'on peut mettre sous la forme
it[pr'\-qi){pr — qr)xrs,
ou encore
Sous cette forme^ il est facile de vérifier l'énoncé du théorème;
car qpxqm est Taire w de la surface mnpq ; 2tc x r ,. )
est égal à 2tc X ^fc, jf étant le centre de gravité du rectangle, et gh la distance de ce point à Taxe; 2x X gh est donc la circonférence décrite par le centre de gravité quand le rectangle fait une révolution entière autour de BC.
Pour passer delà au volume engendré parla figure totale A, on décomposera celte figure en éléments rectangulaires infiniment petits, on fera pour chacun le produit «
In Xhot,
où (0 désigne Taire du rectangle considéré, et h la distance de son centre de gravité à la droite BC ; et enfin on fera la somme de tous ces produits. Or cette somme sera, à part le facteur constant 27?, la somme des moments des aires o) par rapport à TaxeBC; elle sera donc égale au moment de la somn^e des aires, c'est-à-dire au produit de Taire totale, A, par la distance, H, de son centre de gravité au même axe. Le volume engendré est donc
.2itHA,
ce qui démontre le théorènfie. .
Si, au lieu de faire un tour entier autour de BC, la figure décrivait seulement autour de cet axe un angle mesuré par Tare a, le volume engendré serait réduit dans le rapport de a à 2tc, et serait exprimé par le produit allA,
2"^ ha sutface engendrée par une ligne plane finie, AA', quand elle fait une révolution entière autour d'une droite BG, tracée dans son plan (de manière à ne pas la couper) j est égale au produit de la longueur L de cette ligne par la circonférence décrite par son centre de gravité 6.
DE 6ULDIN. 3ig
Soit GE=H*la dislance du callr^ de gravité de la ligne à l'axe BG ; Taire engendrée par la révolution entière dé ÂA' sera exprimée par le produit
2,rHL.
En effet, cette aire est la somme des aires engendrées par les arcs élémenlaires successifs mn^ qui composent Tare total ÂÂ.'. Abaissons des points m et n des perpendiculaires «M, nr sur Taxe ; l'élément mn étant ***
infiniment petit, peut être considéré comme recliligne; il engendre la surface convexe d'un tronc.de cdne qui a pour mesure la moyenne des circonférences des bases, multipliée par la génératrice mn^ ou bien
Soit jf le milieu de mn; la demi-sonime -. — ^ — est égale à la
dislance gh du milieu àemnk Taxe BC; le produit précédent devient
^nXghXmn;
il faut faire la somme de tous ces produits élémentaires, ce qui revient à multiplier par 2içla somme des produits mnxgh^ ou la somme des moments des arcs mn par rapport à Taxe BC; carie point 3, milieu de mn, est le centre de gravité de Tare ttn. La somme des moments des arcs élémentaires est égale au moment de la somme de ces arcs* ou au produit de la longueur totale L de l'arc AA', par la distance H = GE de son centre dé gravité à Taxe de révolution, ce qui donne en définitive
27tHL
Si la ligne AA^ ne faisait pas un tour entier, et qu'elle décrivit seulement un angle a autour de Taxe BC, a étant mesuré en parties du rayon^ la surface engendrée serait seulement alIL.
diiJd THÉORÈME
APPLICAnON DU THÉORÈME DE GULDIN A L ÉVALUATION DES VOLUMES OU DES SURFACES. *
207. Soil proposé de trouver le volume engendré par le triangle ABC, faisant une révolution entière autour d'une droite Al\ menée par le sommet A en dehors de ce Iripngle, mais dans son plan. On délerminera le milieu I de B la base BC du triangle, puis le point
v/ V G, centre de gravité, en prenant
^ : ;^^ ~'\ . AG = = AI. Abaissant GH perpendicn-
Ac laifement 5 Taxe AP, on aura pour
mesure du volume cherché
Fi., 187 Vr= aire ABC x2iiGH.
Du point I, abaissons IF perpendiculaire sur AP. La dis-
tance HG est les = de IF ; substituant,, il vient
V = |7rlFx aire ABC.
Cherchons aussi l'aire engendrée dans le même mouvement par le côté BC ; celte aire S sera égale au produit du côté BG par la circonférence décrite par le centre de gravité I de ce côté : . '
StLSirlFxBC;
par conséquent
car Taire du triangle ABC est la moitié du produit de la base BC par la hauteur AK-, abaissée du point A, perpendiculairement sur.BC.
208. Volume du tronc de cône. — Le tronc de cône peut être considéré comme engendré par la révolution entière au-
/ ym
DE GULDIN. 32Ï
tour du côté AB d'un trapèze ADCB, dont deux angles A et B sont droits. Soit G le centre de gravité du trapèze. Le volume V du tronc de cône sera égal au produit ^ ^ ^
V = SttGL X surf . ABCD.
Soient BC=R, AD=r, les rayons \ des bases du tronc de cône, et AB = H sa hauleur . c*" tr
La distance a; = LG du centre de fig. iss.
gravité du trapèze s'obtiendra en prenant par rapport à AB les moments des deux triangles ABD,DBC, ce qui donne l'équation
surf. ABD Xgl-h surf. DBG X g'V = surf. ABCD X ar,
en appelant g et g' les centres de gravité des deux triangles situés sur les médianes BI, DK.
Or
surf. ABD = I rll, surf. DBG = 1 RH, surf. ABCD = | (R + r) H ;
Pour obtenir g'l\ observons que la diagonale BD du trapèze divise cette droite en deux segments, dont l'un, /'m, est le tiers de AD, tandis que l'autre est égal aux deux tiers de BK, ou au tiers de BC ; donc
^/' = i(AD + BC)=^(I4-r).
Nous avons donc en résumé
^"xlr4-|RnxJ([l+r)^^,^^^,;^^^^.
i(K-fr)n ^' '^^^ '
Le volume V, égal à ^t:x X surf. ABCD, est donc donné par la formule
formulj des éléments de géométrie.
