II. — ' m£g. COLLIGKON

209. Le volume d'un torej engendré par la révolution du cercle 0 autour d'une droite AB tracée dans son plan en dehors du cercle , est le produit de Taire du cercle 0 par la circonférence dont le rayon est égal à la distance OH ; c'est le produit

,rR» X 27rH, OU 2,t«R«H,

R étant le rayon du cercle 0, et H la distance OH.

La surface engendrée par la circonférence a pour mesure

• Fig. 189. 2;rR X 27rH = 47r«RH.

On trouverait de même le volume engendré par une ellipse tournant autour d'une droite tracée dans son plan.

APPLICATION DU THÉORÈME DE GULDïN A LA RECHERCHE DES CENTRES DE GRAVITÉ DES AIRES ET DES LIGNES PLANES.

210. Soit proposé de chercher le centre de gravité d'un arc de cercle homogène AB.

L*arc AB est symétrique par rapport à la droite OC ^nenée du centre 0 au milieu de l'arc. Le centre de gravité G est situé sur cette droite, à une certaine distance X du point 0.

Par le cenire 0 menons une droite OP, perpendiculaire à OC; puis faisons tourner la jfigure autour de OP ; l'arc AB engendrera dans ce mouvement une zone sphérique dont la hauteur PQ est égale à la corde AB de l'arc donné. Celte zone a pour mesure le produit de sa hauteur, ou de la corde AB, par la circonférence d'un grand cercle de la sphère, c'est-à-dire par StcxOC. Le théorème de Guldin nous montre d'un autre côté que la surface engendrée par une révolution entière de Parc AB est égale au produit de la longueur de l'arc par la

DE GULDIN. 323

circonférence décrite par son cenlre de gravité, ou à arcABx2xa;. On a donc

corde AB x SttOC = arc AB x -'ira;,

d'où Ton tire

. corde AB

a; = 0Cx

arc AB

formule identique à celle que nous avons trouvée (§ 185) en appliquant d'autres méthodes.

EXTENSION bu THÉOHÈME DE GULDIN.

211. Supposons qu^n trace un contour F dans un plan P, qui roule sans glisser sur une surface développable, et qui tourne successivement d'un angle infiniment petit autour des arêtes rectilignes AB, A'B', A^B", ..., de cette surface.

Dans ce mouvement, la figure F engendrera un volume, et le périmètre de cette figure engendrera une surface.

Cela posé, le volume engendré par la surface F entre deux positions qu^lconqv£S du plan mobile est égal au produit de V aire ¥ par le chemin décrit par son centre de gravité G.

La surface engendrée par le périmètre de la surface F a pour mesure le produit du périmètre L par le chemin décrit par son centre de gravité G' .

Pour démontrer ces théorèmes, il suffit d'observer que pendant un temps infiniment court le pian P tourne autour d'un axe fixe AB, et que ^--7i.«

la figure F engendre un élé- /--^a v "■ ''^"'"^^/

ment de solide de révolution. - / //^~-^II~ / 7^' Le théorème de Guldin peut / / / / f ^y^ s'appliquer à ce temps très- / Z, 'bV^Vg^v // court; il ne reste plus qu'à bT"-^ /

faire la somme de tous les ^-^

éléments décrits, ce qui don- g • .

nera Taire F, ou le périmètre L, multiplié par le chemin total décrit par le centre de gravité de Taire ou par celui du périmètre*

212. L'axe de rotation, dans tout ce qui précède, est supposé extérieur à la figure mobile. Le théorème de Guldin s'applique encore au cas où l'axe traverse la figure méridienne, sauf à prendre positivement les volumes et .les superficies engendrées par les parties situées d'un cô(é de l'axe, et négativement les volumes et les superficies engendrées par les parties situées du côté opposé.

Si Ton adopte celte convention, on pourra dire que k volume engendre par une aire fermée, tournant autour d'une droite tracée dans son plan et passant par son centre de gravité^ est égal à zéro. Car le chemin décrit par le centre de gravité est nul. Il ne faut pas oublier que dans cet énoncé on prend avec des signes contraires les volumes élémentaires engendrés par les deux parties de la figure séparées par l'axe de rotation.

TRANSFORMATION d'uNE SURFACE HÉLICOÏDALE EN SURFACE . DE RÉVOLUTION.

21 3. Lemme.— Soit AB (fig. 1 92) un élément mobile infiniment petit dont tous les points décrivent à chaque instant des trajecloires normales à la direction correspondante de l'élément. L'aire engendrée par l'élémenl entre deux positions quelconques AB, A'B' sera égale au produit de AB par le chemin I V décrit par le centre de gravité, I, de l'élément, et comme les longueurs AA', BB', ce, diffèrent de quantités infiniment petites, on pourra exprimer cette aire AA'B'B par le produit