AB X AA

Fig. 192. En effet, considérons les positions successives AB, A^B^, A,Bj,... de Téléinent mobile, et évaluons l'aire AA^B^B comprise entre deux positions consécutives.

Par AB (fig. 193), faisons passer un plan P, normal à la trajectoire du point 1; par A^B^, faisons passer un plan P^,

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normal à la même trajectoire au point F^. Ces deux plans se couperont suivant la droKe LL', axe de courbure de la courbe II^. Prolongeons AB dans le plan \\ jusqu'à la rencontre de LL' enC; puis imprimons au planP, autour de LL', un mouvement de rotalion infiniment petit, qui amène le point I au point I^, cl Télément AB dans la position «p. Dans ce mouvement, l'élément AB engendre une portion infiniment* petite de surface conique dont le sommet est au point C, et cette portion a pour mesure le produit ABxII^. Pour amener ensuite Télémenl mobile dans sa ^ ^ ^<c-- -.- î ' position A^B^, il n'y a plus qu'à faire ^/^

tourner dans le plan P^ l'élément ag . ^

d unangle infiniment petit autour de l'--^^ .. son milieu I^. On déforme ainsi l'élé- ^^--^^

ment de cône AaPB, qui devient un élénnent de surface gauche, AA,B,B. ^'^' ^^'

Dans cette déformation, chaque élément de la surface conique reçoit un déplacement normal infiniment pelit.

A chaque élément de la surface gauche correspond donc sur le cône un élément superficiel qui en est la projection orthogonale, et comme l'angle de ces deux éléments est infiniment petit, il y a égalité entre les deux éléments, et par suite entie les deux surfaces (I, §62). La déformation n'entraine ainsi ni altération des aires ^ ni altération des éléments de longueur, et l'on a

surf. AAjBiB = AB X Hi,

comme si le déplacement de l'élément générateur avait consisté dans une simple rotation autour de LL'.

11 en est de même de chaque élément, et par suite aussi de leur somme, ce qui donne pour résultat définitif ABxII', ou AB X AA', en remplaçant I V par la longueur A A', qui en diffère infiniment peu (fig. 192).

214. Ce lemme trouve son application dans la théorie de surfaces hélicoïdales.

Soil 00' Taxe d'une surface engendrée par le mouvement hélicoïdal imprimé à une fîgure quelconque. Le point A parcourt dans ce mouvement une hélice AA', le point B une hélice BB'; toutes ces hélices ont môme pas AA'=BB' = ft; elles diffèrent par les rayons Aa, Bft des cylindres droits sur lesquels elles sont tracées.

Pour définir la figure génératrice, menons sur la surface une ligne PP', qui coupe à angle droit toutes les hélices AA', BB', ce,... Sur cette ligne prenons une origine arbitraire P, et comptons les arcs à partir.de ce point, dans le sens PP'. Un point A de la ligne sera donné par Tare PA = s qui lui correspond; ce point appartient d'ailleurs à un cylindre droit de rayon A/i = R, et, par suite, la forme de la surface hélicoïdale établit entre les deux quantités 5 et R une relation

qu'on peut supposer connue.

Évaluons la surface de la bande hélicoïdale engendrée par l'élément AB = ds, et comprise enlre deux positions AB et A'B' éloignées d'une spire. Chacun des points de cet élément décrivant des lignes normales à sa direction, on peut appliquer le lemme précédent, ce qui donne pour aire de la bande le produit -

ou bien

AB X longueur (Amm'A'),

rfsXV'^TrW-f-A*.

^ Nous allons chercher (fig. 19&) à quelle distance y = aa, de l'axe 0)0)' il faut placer un arc a^ = ds= AB, pour qu'une révolution entière de a^utour de o)o)' engendre une surface égale à cette bande hélicoïdale*

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L'aire engendrée étant égale à

OU à

ds X ÎTry,

la condition d'équivalence des deux bandes est ou bien

Imaginons que cette relation soit satisfaite en tous les points de la courbe a^y ... Il y aura équivalence entre les aires •de la surface de révolution et les aires correspondantes de la surface hélicoïdale ; cette équivalence aura lieu non-seulement de bande à bande , mais encore d'élément à élément, en prenant pour éléments correspondants une même partie aliquote de deux bandes correspondantes. On partage ainsi les deux bandes en éléments rectangulaires qui se correspondent, et qui ont à la fois même surface et même dimension aP=AB=ds. p^ Leurs secondes dimensions sont donc aussi égales, et, par suite, il y a non-seulement équivalence des aires, il y à encore égalité entre les éléments de longueur correspondants, tracés sur les deux surfaces, et égalité des angles que ces éléments font entre eux. Donc enfin la surface hélicoïdale est applicable sur la surface de révolution.

L'équation de la méridienne a^Y--- s'obtiendra en remplaçant R par sa valeur

dans l'équation s = F (R) , et l'on aura

il restera à intégrer cette équation, pour la ramener à ne contenir que les variables x et y.