DU CYLINDRE TRONQUÉ
de la section, ef conduisons par celte droite un second plan AEBF, faisant un angle infiniment petit avec le premier. De celte manière, nous ajoutons d'un côlé au volume du prisme ou du cylindre un onglet infiniment petit AFDB, et nous retranchons de l'autre l'onglet infiniment petit ACEB. Faisons tourner la figure ACDB autour de AB pour l'amener dans le plan "AEBF. Dans ce mouvement elle engendrera deux onglets de révolution opposés par le sommet, qui différeront des onglets cylindriques AFDB et ACEB, d'infiniment petits du second ordre ; or ces deux onglets de révolution sont égaux en vertu du théorème de Guldîn ; car l'un étant pris positivement, l'autre négativement, leur somme algébrique est nulle (§ 213). 11 en est donc de même des onglets cylindriques, et par suite le volume du cylindre ou du prisme, compris entre une section quel- ^'^' ^^*
conque MN et la section ACBD, n'est pas altéré par la substitution au plan ACBD, d'un plan infiniment voisin AEBF, pourvu que le second plan passe par le centre de gravité G de la section déterminée jpar le premier.
Le centre de gravité de la nouvelle sectipn coïncide avec le centre de gravité G de l'ancienne, car la seconde section est la projection delà première, parallèlement aux arêles du cylindre (g 216). On n'altère donc pas le volume du cylindre en faisant encore tourner le plan de la section EF d'un angle infiiiiment petit autour d'une droite passant par le point G. En définitive, qu'on modifie comme oji voudra l'orientation du plan de la section ACBD, pourvu que ce plan passe toujours par le centre de gravité G de la section, le volume du cylindre n'en est pas changé.
217. Celte remarque conduit à la mesure du volume du cylindre ou du prisme tronqué. Soit P un cylindre coupé par deux plans A, B, menés d'une manière quelconque. Prenons le centre de gravité G de la section A : la section B est la projection de la section A sur le plan B, faite parai-
lèlement.aux génératrices du cylindre; donc le centre de gravité, G', de cette section, est situé sur une parallèle aux génératrices, menée par le centre de gravité de Tautre section A. Par les points G et G', menons deux plans, a, 6, normaux aux génératrices. La substitution de ces sections aux sections primitives n'altère pas le volume du cylindre (§ 216), de sorte que le volume compris entre les sections normales a et 6 est égal au volume donné ; mais le cylindre ab est un cylindre droit, dont le volume s'obtient en multipliant la base, Surf, a, par la hauteur, GG' ; le produit Surf, a x GG' est donc aussi la mesure du volume A.B, et Toifi obtient ce théorème :
Le volume d'un cylindre ou d'un prisme tronqué est le produit de Vaire de sa section droite par la distance des centres de gravité de ses deux bases.
THÉORÈAfÉS DIVERS SUR LES CENTRES DE GRAVITÉ.
218. Lorsque des forces se font équilibre autour d-wn même point'Oj ce point est le centre de gravité d'un système de points également pesants placés aux extrémités des droites représentatives de ces forces. '^ Soient
la. La.
Fig. 197. Y V 7
les composantes suivant les trois axes rectangulaires 0X, OY, OZ des n forces qui sollicitent le point 0. L'équilibre ayant lieu, on aura
XiH-Xs + X5+...+X„ = 0, Zi + Za + Z5 + . . . + Z„ = 0.
Un point matériel de poids p, placé à l'exlrémilé M de la
droite OM qui représenle la première force, a pour coordonnées OP=Xj, PN='Yj, NMzrrZj. Les composantes des forces données représentent ainsi les coordonnées des points matériels correspondants. Le centre de gravité de ces points, supposés tous également pesants, a pour coordonnées
^ Ip Ip '
Or, les sommes ZX, ZY, ZZ, étant nulles, il en ësl de même des coordonnées Ç, y; et Ç. Le centre de gravité est donc à l'origine.
On pourrait aussi placer tous les points matériels M à une distance constante de Torigine, sauf à leur donner à chacun un poids proportionnel à la force correspondante OM (Cf. §28).
219. Lorsque différentes forces sont appliquées à un même point M, la résultante de ces forces passe par le centre de gravité G dVn système de points également pesants placés aux extrémités des droites représentatives de ces forces^ et elle est égale au produit de la distance MG par le nombre des forces ' données.
Soient MF, MF', MF'', .... les n forces données; elles sont tenues en équilibre par une force MR, égale et contraire à leur résultante. Plaçons des poids égaux p aux points F, F', F", ... et au point R ; le centre de gravité de ces points sera le point M, Soit G le centre de gravité des poids placés en
F, F, F", .... On obtiendra le ^ .^ -
centre de gravité M du sys- ^
tème total en composant le ^*^* ^^•
poids np appliqué en G avec le poids p appliqué en R. Donc
les trois points R, M, G sont en ligne droite, et MR est égal à
n fois MG.
220. Le théorème du § 167 est un simple corollaire de cetle.proposition.
Soit M un point matériel qui attire chaque molécule d'un systèmes proportionnellement à la quantité de matière qu'elle renrerme et à sa dislance h ce point.
Partageons le système S en » parties infiniment petites, ayant chacune un même poids p. Les forces qui représentent les attractions de ces diverses parties A, A', A"... sur le
point M sont représentées en
. ^ ^^ grandeur et en direction par les
^ *.A' \ droites MA, MA', MA",... Leur
^---^^/^^ * / résullante, qui représente l'at-
^•'^^^Z7 *^ / traction totale de M sur S, ou de
; -;•, / S sur M, passe au centre de
\ y gravité G des n poids p placés
"' en A, A', A",... c'esl-à«dirc au
*°" ' ' centre de gravité du système S, et
elle est représentée en grandeur par le produit MGx«;
elle est donc la même que si les n poids p étaient réunis au
point G.
Lorsque Vattraction par unité de poids est proportionneUe à la distance, un point matériel attire un système comme si toute la matière de ce système était réunie en son centre de gravité, et par suite deux systèmes matériels s^attirent comme si la matière de chacun d'eux était concentrée en son centre de gravité.
221. Soient A, B, C,...D, n points matériels donnés de position dans l'espace ; soient p^ , j)j, jjj, . . .p„, leurs poids respectifs. Déterminons le centre de gravité G du système formé par ces n points. Soit enfin M un point quelconque pris dans l'espace. Le théorème que nous allons démontrer consiste dans Ténoncé suivant:
La somme
des carrés des distances du point M aux n points donnés^ multi-
plies par les poids respectifs de ces points^ est égale à la même somme prise pour le centre de gravité G,
GÂ-xi^i + Gii*Xi>s-h(ïc*x;^î,H-... -tGb^xjhh
augmentée du produit du carré de la distance des points M et G par le poids total (Pi H-p, -hpj -h . . . -h JJ„) . En d'autres lerrnes, on a l'équation
.wÂ'x;>,+ . . + iHJ*X;>n = (GÂ*Xi;i-f- ...-\-Wxpn) + MG*x(y'i4-...+rnl.
Plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité G. Soient
^i» Vu 3i.
3Ci, 2/a, Sj.
^n» yn, 3».
les coordonnées rectangulaires des points A, B,...D, et
les coordonnées du point M.
Le prenaier terme de l'équation peut se représenter en abrégé par
Développant les carrés, et faisant sortir les facteurs communs des signes 2, il vient
(x« 4- y « + 3«) ip, - 2x2p,x, - 2ylp,y, - 2zlp,,, + v^,, (^^» + y,t + ^^t) .
Les sommes
^Pk'^K» ^PkVk^ ^rkh>
sont nulles, puisque le centre de gravité est à Torigine. . La somme se réduit donc,aux deux termes
334 THEOREMES
OU au second membre de réquation qu'il s'agissait de démontrer.
On a en effet
et
Il est Irès-facile de démontrer cette proposition par la simple géométrie. On l'établit d'abord pour un syMème de deux points; puis on fait voir que, si elle est vraie pour un système de n points, elle est vraie aussi pour un système qui en comprendrait n -4- 1 .
222. Corollaires. — 1° Le lieu géométrique des points M tels, que la somme,
des carrés de leurs distances à n points donnés, multipliés respectivement par les poids de ces points, soit constante, est une surface sphérique décrite du centre de gravité. G, des n points comme centre. En effet, la somme
(SÂ'X;^, -f ...+MD*X?>n)
se décompose en deux parties : l'une,
(ÏÏI*Xiîi + ... +GD*x;?»),
est indépendante de la position du point M; l'autre
MG*X(i>i+Pâ +...+/?«),
ne dépend que de la distance MG. La somme est donc constante si MG est constant, ce qui a lieu pour tous les points de la sphère décrite du point G comme centre avec MG pour rayon.
2^ Le minimum de la somme
MÂ*xpi+ ... +MÏj*x;j«
a lieu lorsque MG=0, c'est-à-dire lorsque le point M coïncide avec le centre de gravité des n points donnés.
223. On peut rattacher ces dernières propositions au théorème § 219, en s^appuyant sur la méthode exposée g H9 pour mener des normales aux surfaces.
A, B,...D étant des points fixes, soient
rn,
les distances variables d'un point mobile M, assujetti à vérifier dans toutes ses positions Téqùation .
Pif* -\-Pi''i' 4- • . . 4- Pnrn* = constante.
Cherchons la normale à la surface représentée par cette équation
Pour cela, formons les dérivées partielles du premier membre par rapport aux variables r^, rj,...r„, ce qui donnera
Nous devrons porler, à partir du point M, sur les rayons MA, MB,...MD, des longueurs respectivement proportionnelles à ces dérivées, ou proportionnelles aux produits p/^, /^î^svJVm puis composer ces longueurs à la manière des forces. La résultante aura la direction de la normale cherchée.
Or il résulte du théorème du g 219 que la résultante passe par le centre de gravité G des poids p^, p^y...pn^ placés respectivement aux points A, B,...D.
La normale passe donc par un point fixe, et par suite la surface cherchée est une sphère qui a ce point pour centre*
A la vérité, le théorème du g 219 est établi pour des points également pesants, et pour des forces représentées par les dislances r^, rj,...r«. Mais la proposition s*étend à des points dont les poids p^, p^^^^-Pn soient inégaux, pourvu que les forces
