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et
La distance OG est en définitive une fonction des deux quantités R et r. Donner en grandeur le cercle inscrit et le cercle circonscrit, c'est donner en môme temps la dislance de leurs centres. Il en résulte qu'étant donnés deux cercles dans un plan, il n'est pas toujours possible de construire un triangle qui soit inscrit dans Tun et circonscrit à l'autre ; et que s'il est possible d'en construire un, on peut en construire une infinité d'autres. Plus généralement, étant données deux courbes du second ordre dans un plan, il n^est pas toujours
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possible d'inscrire dans l'une un polygone fermé d'un nombre détermine de côlés qui soit circonscrit à l'autre, et s'il y en a un, il y en a une infinité*.
225. Étant donnés iin cercle 0 et un point A dans le' plan de ce cercle j on mène par ce point deux droites rectajigulaii^es AB, AC, qui rencontrent la circonférence en B et C. Ojï joint BC, et du point A on abaisse sur BC la perpendiculaire AP. On demande le lieu dû point P, pied de cette perpendiculaire.
/ V .j ,^, . . ^ Soit R le rayon du cercle; faisons - \i>f<'' ' . Ah=x, kC = y. Le point P divise
[ A "Fo r^ l'hypoténuse, BC, du triangle rectan-
^ / gle ABC en segments proporlionnels
/ aux carrés des côtés de l'angle droit. .
-^ Donc le point P est le centre de gra-
^*^- ^^' vite du système formé par un poids
égal à j/* placé en B, et par un poids égal à x* placé en C. Cette
remarque nous donne immédiatement la distance OP; en effet,
appliquons le théorème du g 221, nous aurons
Or .
OB=rOC=l's
ÂÏÏ* X'
• • CP-' y"
L'éi]uation devient donc
OU, en supprimant le facteur x* 4- j/*,
* Ce théorème» démontré pour la première fois par Poncelet dans son Traité des propriétés projectives des figures (section IV, chap. m], à été rattaché d*une manière très-ingénieuse par Jacobi à la théorie des fonctions eUiptiques.
GÉOMÉTRIQUES. n4l
Mais APxBC, double de là surface du Iriangle ABC, est égal à AB X AC ou à xy. Donc
et enfin . -
Prenons le milieu I de AQ; nous supposeroiis deux poids égaux placés en A et en 0, qui auront leur centre de gravité en I, et nous appliquerons encore le Ihéorèm'e. Il viendra
ôP'-hÂP^ — 'iFï* + 2ÂT^ et par suite
R2 = m^ + 2ÂT*.
Donc PI esl conslant, et le lieu du point P est une circonférence décrite du point I comme centre avec un rayon
226.. Étant donnés (fig. 202) n jwinls matériels A, B, C, ... D, dont les })oi(ls respectifs sont p^, Pj,.-' P»» ^^ ^^^^ droite LL\ on abaisse de tous ces points sur la droite des perpendiculaires ^ Aa, Dft,... D(^ et on forme la somme
du carié de la distance de chaque point à la droite^ multiplié par le poids de ce point.
Par le centre de gravité^ G, du système des n points^ on mène une parallèle X7/ à ta droite LL', et sur cette parallèle on abaisse des points donnés des perpendiculaires Aa, B^, Cy, ..., Do. On forme la somme I^ .
Cela posé, la sommel est égale à la somme J^, augmentée du produit
iiy/ yr»
rftt carr^ de la distance des deux droites LL', XX', multiplié par le poids total du système.
Menons un plan PP perpendiculaire aux parallèles LL', XX', qis projetons arthogonalement sur ce plan tous les points
lionnes, A, B, ... D; nous obtenons ainsi les points A', B',..., D', auxquels nous pouvons attribuer les poids p^ , Pj, . . . , p„ . Le centre de gravité du système projeté sera la projection du centre de gravité G du système donné (§ 168, Rem. Il) ; soit X ce point, et soit L le pied de Fig.m la droite LL'.
Nous pouvons appliquer le théorème précédent (§ 221) au
Système projeté ; il viendra :
(rr* X Pi 4- B'I.* XPa4- . . . -f D'L* X Pn) = (F;*X;jt + B^*X;^i 4--. . . H- D^ Xj^n) + LÀ* X [pi -f Pi+ . . . +!>«).
Or, les distances Aa, Bft, ... Drf, des points donnés à la droite LL', se projettent en vraie grandeur sur le plan PP, et ont pour projections les distances des points A', B', ....D', au point L. On a donc : A'L = Aa, B'L = Bft, ..., D'L = Dd. De même, A'X = Aa, ..., D'X = D$ ; et par suite, Téqualion précédente peut s'écrire :
li^Xpi+Wxp^-h ... -i-Wxpn
= X;*xpi-4-S^^xp2-H .-. -f Dâ^Xi>«-f-C*x(y^i-h ... 4-M
c'est l'expression algébrique du théorème qu'il s'agissait de déniontrer.
Corollaires. — V La somme des produits du poids de chaque point par le carré de sa distance à une droite LL' est la même pour toutes les positions de cette droite sur la surface d'un cylindre droit à base circulaire, décrit autour de la droite XX' comme axe.
2** Elle est minimum pour l'axe XX' lui-même.
11 serait très-facile d'élàlJir directement ces diverses pre-
positions, que nous retrouverons dans la dynamique lorsque nous exposerons la théorie des moments d'inertie.
