CENTRE DE GRAVITÉ DE LA COURBURE

227. On appelle ainsi le centre de gravité d'un arc de coarbe plane, dont chaque élément infiniment petit ds reçoit un poids spécifique proportionnel à la courbure de cet élément, ou inversement proportionnel à son rayon de courbure, p.

Les coordonnées x^ et y^ du centre de gravité de la courbure d une portion définie d'une courbe donnée s'obtiendront donc au moyen des équations

les intégrales étant prises entre les limites correspondantes

aux extrémités de la portion de courbe que Ton considère.

ds' On remarquera que — est Y angle de contingence dw de l'élé-

ment de courbe ; de sorte qu'on peut poser

/ xdù) j xdoi I ydoi

Q étant la somme des angles de contingence, somme qui mesure l'angle formé par les tangentes aux extrémités de Tare donné.

SoitO le centre de gravité de la courbure d'une courbe prise entre deux points donnés. On pourra appliquer à ce point les propriétés générales du centre de gravité d un système pesant.

Cherchons, par exemple, le lieu géométrique des points 0'

ds du plan pour lesquels la somme des produits du poids, — ou

d(i), de chaque élément successif rn, par le carré O'm de sa

distance à ce point 0', ait une valeur constante. Nous trouverons pour ce lieu une circonférence décrite du point 0 comme centre; et la somme /O'm' xdo) seia minimum quand le point 0' coïncidera avec le point 0. On peut donc définir le ccnfre de gravité de la courbure, le point du plan tel que Tinlégraic fr\liù, des produits de l'angle de contingence de chaque'arc pnr le c^irré de sa distance au point, soit la moindre* possible. .

Un théorème de Steiner montre l'utilité de ces définilions.

Soit AB une courbe fermée qui roule sans glisser sur une droite fixe A\'. Dans ce mouvement, le point M, appartenant au plan de la courbe mobile, décrit une roulette MNM' : nous dirons que la roulette" est complète quand le point A de la

Fig. 203.

* courbe mobile est revenu pour la première fois au contact de la droite directrice, en A' ; alors le point M se trouve en M', et la roulette se prolongerait au delà par une nouvelle branche de courbe, qui serait la reproduction de la courbe MNM' déjà décrite. Évaluons Paire comprise entre celle courbe, et les trois droites MA, AA', A'M'.

Pour cela, considérons la courbe mobile dans une position B" quelconque. Soit N la position correspondante du point M, et C le point de contact de la courbe roulante. La droite CN sera normale à la roulette au point N. Concevons qu'on imprime à la courbe roulante un déplacement infiniment petit, qui amène le point N en IN', et qui fasse passer le contact du point C aux points C et C" confondus en un seul, La surface comprise entre les deux droites CN, C'N', toutes deux normales à la roulette, est un élément de Paire cherchée. Menons