DE LA COURBURE
la diagonale CN'. L'élément considéré cs.t la somme des deux triangles NCN' et CN'C, ou bien, en observant que les points C, C" sont à.nine dislance infiniment petite du second ordre, ce qui rend négligeable la surface du petit triangle CC'C", la somme des deux triangles NCN' 4- CN'C".
Le premier NCN' est le secteur décrit par le rayon CN quand la courbe roulante tourne, autour du centre instantané C, d'un angle NCN' égal à l'angle de contingence de Tare CC", ou égal à ilià ; appelant donc r le rayon CN, le premier triangle aura pour mesure ^ rV/w.
Le second triangle, CN'C", est, à des infiniment petils d'ordre supérieur près, égal au triangle CNC", qui a pour mesure |7'*d0, en représentant paï dô Tangle C"NC que fait, dans la courbe roulante supposée fixe, le rayon NC" = r -h rfr avec le rayon NC=r.
La surface de la roulette complète a donc pour mesure la somme des intégrales
les quadratures étant prises tout le long de la courbe, en partant du point A, et en revenant à ce point après avoir fait le tour de la courbe.
Dans celle opération, le second terme \ fr^d^ donne la surface A de la courbe roulante AB, quantité constante quelle que soit la position du point M. Le premier terme, moitié du produit de la courbure de chaque élénient par le carré de sa distance au point M, reste le môme quand on fait varier la position du point M sur une circonférence qui aurait pour centre le point 0, centre de gravité de la courbure de la courte AB.
Donc :
1** Les aires des roulettes, eûgendrées par divers points M, pris dans le plan de la courbe AB, sont équivalentes ^ si les distances de ces points au point 0 sont égales;
2** La roulette d'aire minimum est celle qui est engendrée par le point 0 lui-même.
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Sieiner a aussi comparé Taire de la roulelte complète engendrée par le point M avec Taire de la podaire de la courbe AB, supposée fixe, par rapport à ce même point BT. La podaire d'une courbe est le lieu des pieds P des perpendiculaires abaissées du point M sur les tangentes CP à la courbe.
L'aire élémentaire de la podaire PP' du point M par rapport
à la courbe AB peut être regardée comme égale à la somme
du triangle MCC'et du triangle IPP'. La pre-
* mièrc parlie a pour mesure 5 r*dô, en ap-
pelant r le rayon MC, et dô Tangle CMC.
La seconde a pour expression ^ IP* x dw ,
(/w étant Tangle de . contingence de la courbe AB. Faisons MP=:pj distance du point M à la tangente à la courbe ; IP est, à un infiniment petit près, égal à CP, ou à \/r* — p'; de sorte que Taire S' de la podaire est égale à la somme
5 Jr'rfe -f- \J\^-y*\ rf« = S'.
Or Taire élémentaire de S' est aussi égale à Taire du triangle MPP', qui a pour mesure 5 p'dw. On a donc
ÎJVVa, = S',
les intégrales étant prises tout le long du périmètre de la courbe, en revenant au point de départ. Ajoutant, il vient
et comparant à Taire de la roulette décrite par le point M, on en déduit
L'aire de la roulette est double de celle de la podaire. Par
