Soit

une équation numérique dont les coellicitnts Gq, tt^, «,,... 0., sont des nombres réels, positifs ou négatifs; attribuons à Tinconnue x une valeur réelle a, positive ou négative; puis sur une droite indéfinie OX portons , à partir de lori-

3i8 APPLICATION DE LA STATIQUE

gine 0, en tenant compte des signes, les longueurs suivantes

0A=1, . OB = a,

OC = a-,

Aux points ainsi déterminés appliquons des points maté-ricls dont les poids soient respectivement égaux aux coefficients de Téqualion : au point A un point matériel pesant a„, au point B un point matériel pesant dm-o •••) si" point P un

^^ . ^ „ point matériel pesant

^ ^ ® ^ V X ^^ jg^ 'pesanteur sera

^'^' "^ censée agir dans un

sens sur ceux de ces points qui correspondent ù des coefficients positifs, et en sens contraire sur ceux qui correspondent à des coefficients négatifs.

Cela posé, on composera ensemble toutes ces forces, et on trouvera généralement une résultante unique appliquée en un point de la droite OX. Pour que a soit racine de Téqualion proposée, il faut et il suffit que le point d'application de la résultante soit l'origine.

En effet, le moment de la résultante est égal à lu somme algébrique des moments des composantes, c'est-à-dire à la valeur

il est donc nul, et la résultante passe au point 0, si a annule le premier membre de l'équation. Il y a un cas d'exception à cette conclusion : c'est celui où la résultante elle-même serait nulle, ce qui suppose la somme algébrique .

égale à zéro. Mais on peut excluie ce cas, car il en résulterait que la proposée admettrait pour racine Tunité, ce qu'on peut toujours reconnaîlre facilement ; il suffirait alors de diviser le polynôme de l'équation par a? — 1, ou par une puissance de (a?~l), pour obtenir une équation qui n'admette

A LA RÉi^OJ.UTION DES ÉQUATIO.NS. 349

plus celte racine; el qui ne donne plus prise à Tobjection. A chaque racine réelle de la proposée correspond donc sur la droite indéfinie OX une distribution des poids (positifs ou négatifs) a^, a^, ..., a„, telle, que le centre de gravité de leur ensemble soit Vorig'me. Celle remarque est le principe d'une balance à résoudre les équations numériques, imaginée par Bérard et^ réalisée par M. Lalanne; nous en donnerons une description dans le chapitre suivant.

IIAGINES IMA61IS AIRES.

229. Les racines imaginaires donnent lieu à un théorème .analogue ; au lieu de distribuer les poids a^^ (7^, «,,.•• «m sur une même droite, il suffit de les diÉrfribuer dans le plan suivant une certaine loi.

Supposons que les coefficients a^, a^, ^.. a^^ soient euxmêmes imaginaires, et posons d'une manière générale

Le module^ ^'ij.de ce nombre imaginaire est un nombre esr sentiellement positif. Vargument [l^ peut être supposé compris entre les limites — tc et -f- t:. Pour rendre a^ réel, il suffit de faire {^.^=0 ou 11.* = tu. Dans le premier cas, a* est un nombre posilif, et dans le second un nombre négatif.

Soit

X = p (cosô-h V'— 1 sin6),

une racine de l'équation donnée. Substituons celte valeur ; l'équation se sépare^en deux autres, en égalant à zéro la parlie réelle et le coefficient de v^ — 1 . On obtient ainsi les deux relations

ro/5'"cos(>?i6 4- /*o1 4- rj/5"*~*cos [(?n— l)0 + /*i] -f î's/î"* ~^cos [(ni— 2) 0 + //s] ro/5*sin(m0 -f- fio] + r^p»" -*sin [(m — 1) 0 + /*,] + rgs"* "* siii [(m - 2) 0 + ,1^]

350 APPLICATION DE LA STATrQUE

Traçons dans un plan un axe polaire OX ; par le pôle 0, menons les droites OA, OB, OC,...OP, faisant respectivement avec Taxe polaire, dans le sens indiqué par les signes, des angles

/^ AOX = /iu^.

Fig.207. POX^.mO + A'o

Sur les droites ainsi dirigées, prenons des longueurs

0A=1, OB = /c,

Puis plaçons

en A, un poids égal à r ^ , en B, un poids égal à r^ ^ , en C, un poids égal à r^ __ , ,

en P, un poids égal à Tq.

Tous ces poids seront cette fois des nombres positifs, et la pesanteur agira pour tous dans le même sens. Les relations écrites ci-dessus montrent que le point 0 est le centre de gravité des poids r„^ ... r^ ainsi placés.

En effet, la première indique que la somme des moments de ces poids par rapport à un axe OY, perpendiculaire à Taxe polaire, est nulle; la seconde, qu'il en est de même de la somme des moments par rapport à OX ; et il n'y a aucun cas d'exception, puisque la somme r^ + r«iH- ... -Hr^ est positive.

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