BALANCE DE ROBERVAL

252. La Balance de Rohenal^ réduite à ses parties essentielles, se compose d'un parallélogramme articulé ABGD, dont

Fig. 224*

les côtés AD, BC sont verticaux^ et dont les côtés AB et CD sont

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libres de tourner autour de deux points fixes 0 et 0' placés aussi sur une Terticale ; dans la déformation de la figure, les droites AD etBC restent parallèles à la droite fixe 00',

En des points M et N, pris arbitrairement sur les côtés verticaux AD, BE, on attache à ces côlés des bras horizontaux ME, KF, auxquels on suspend, en des points quelconques I et R, des poids P et Q. On demande la condition d'équilibre du système.

Appliquons le théorème du travail virtuel. Imprimons au parallélogramme une déformation infiniment petite; cette déformation s'opérera en faisant tourner d'un même angle infiniment petit AOA', DO'D', les droites AB, DC, autour des points 0 et 0', et en déplaçant parallèlement à elles-mêmes les droites AD, BC, qui entraînent dans ce déplacement les poids Pet Q. La quantité e = li, dont descend verticalement le poids P dans ce mouvement de translation, est égale à la projection, Aa, sur la verticale, du chemin AA' décrit par l'extrémité A de la droite AB; de même la quantité £' = R'r, dont s'élève verticalement le poids Q, est égale à la projection verticale, B'fr, du chemin BB' décrit par le point B. Or les chemins AA', BB' décrits simultanément par les points A et B de la droite AB, mobile autour de l'axe projeté en 0, sont proportionnels aux distances AO, BO; d'ailleurs, ils font des angles égaux avec la verticale, et leurs projections sur cette direction leur sont proportionnelles; on a en définitive

Mais le théorème du travail virtuel donne pour équation d'équilibre

P« = Qe'.

Éliminant les quantités auxiliaires e, €', on obtient pour condition d'équilibre l'équation

PXA0 = QXB0.

AO Cette relation ne renferme que le rapport ^ des segments

DE ROBERVAL

dans lesquels le côté AB est divisé. Par conséquenl, si les poids P et Q satisfont à la condition qu'elle exprime, l'équilibre subsistera quelle que soit la forme qu'on donne au parallélogramme articulé, quels que soient les points M et N auxquels on împlfiinte les bras sur les côtés verticaux, quels que soient enfin lés points I et N auxquels on suspende les poids P etQ.

L'équilibre est donc indifférent ^ puisqu'il subsiste dans toutes les positions de la figure mobile. On peut observer que le centre de gravité des poids P et Q ne change pas de hauteur par suite delà déformation du parallélogramme, et qu'il ne change pas de hauteur non plus quand on déplace les poids P et Q le long des droites horizontales ME, NF.

253. Nous traiterons aussi cette question par la méthode de la composition des forces. L'emploi des couples rend les opérations faciles. Nous considérerons séparément l'équilibre des quatre côtés du parallélogramme, en remplaçant les articulations par les forces équivalentes.

Au p.oint M, appliquons deux forces verticales, en sens

Fig. 225.

contraire l'une de l'autre, et toutes deux égales à P. Nous pouvons substituer à la force P, agissant en I sur le système rigide formé des barres EM et AD, une force P, égale et paral-

U. — UÉG. COLLIGKON.

lèle, agissant en M, et un couple (P, — P), dont le moment est égal à PxIM, et qui tend à faire tourner de droite à gauche son bras de levier IM. Ce couple et cette force sont équilibrés par les actions qu'exercent les barres AB, DG sur les points A et D du même système. Nous pouvons décomposer chacune de ces actions en deux forces, l'une, X et X', dirigée suivant le côté AD, l'autre, Y et Y', dans les directions parallèles AO, DO'. Les deux composantes X et X', appliquées. en A et D dans la direction du côté AD, se composent en une seule force, X -f- X', qui équilibre la force P ; elles composantes Y, Y', parallèles, forment un couple qui doit tenir en équilibre le couple (P, — P). Donc Y== Y' et, de plus, les moments des deux couplés devant être égaux, on a, en abaissant du point 0 une perpendiculaire OS sur le côté CD, Téquation

Yx0S = PxIM,

qui détermine Y.

On connaît ainsi les composantes Y, Y', des actions exercées par les barres AO, DO' sur le côté vertical AD, et la somme X + X' des composantes verticales des mêmes actions.

On peut opérer -de même pour le poids Q; on trouvera la somme X''-i-X'" = Q des composantes verticales des actions des barres obliques sur les barres verticales, et les composantes égales et contraires, Z, Z', exercées dans les directions des côtés obliques, et données par l'équation des moments :

. ZX0S=:=QXNR. .

Considérons maintenant Téquilibre de la pièce AB, sous Taclion des forces X, Y, X", Z, changées de sens, et l'équilibre de la pièce DC sous Taction des forces X', Y', X'", Z', également changées de sens. Pour la première, les devix forcQS Z et Y, agissant dans la direction du point fixe 0, sont détruites par la fixité du point, sur lequel elles exercent dans la direction du côté AB une pression égale à Z — Y. Les forces parallèles, X et X", doivent se composer en une seule, appliquée au point 0. Donc elles exercent sur le point 0, parallèlement aux côtés

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verticaux, une action égale à X + X% el elles satisfont à la relation .

XxAO = X"xBO.

C'est la condition d'équilibre de la pièce AB.

De môme, la seconde pièce DG est en équilibre si Ton a

X'XDO' = X'"XCO',

et le point 0' est sollicité, suivant le côté DC, par une force V — Y', et suivant la verticale, par une force X'-h X'". ' On a donc à la fois les quatre équations :

X + X'=P, XXA0 = X"XB0, X"-fX'"=Q, X'XD0' = X"/XG0',

ou bien

X'XA0 = X'"XB0.

Ajoutant la deuxième et la quatrième, il vient