O'F OF
respectivement à P x çrjr, et P x T^jy. Composant ensuite
les forces Q' et P', appliquées en 0, nous aurons pour résullanlela pression R exercée* par le tourillon 0 sur son coussinet, et, de méime, la composition des forces Q" et P'', appliquées en 0', nous donnera la pression R', exercée sur le coussinet 0'. Les forces R et R' ne sont pas parallèles, mais elles sont toutes deux normales à l'axe du cylindre.
272. On voit qu'avec une force P donnée on peut faire équilibre à un poids Q aussi grand qu'on voudra, en se servant d'un treuil dans lequel le rayon ob du cylindre serait suffisamment petit par rapport au rayon de la roue oa. Pour le treuil comme pour le levier et comme pour toutes les machines, les déplacements des points d'application des forces P et Q qui se font équilibre, sont en raison inverse de ces forces elles-mêmes, de sorte que, pour élever d'une petite quantité le poids Q en employant une force P, il faudra faire parcourir au point d'application a de cette force un chemin d'autant plus grand que la force P est plus petite. Le rôle du treuil, comme celui du levier, équivaut à la division du poids Q en parties dont chacune puisse être déplacée par la force mouvante P.
273. Le treuil différentiel (fig. 249), dont nous avons donné la description dans la cinématique (I, § 295) permet d'équilibrer un poids Q avec une petite force P, sans réduire le diamètre du cylindre, et sans diminuer la solidité de l'appareil. Le cylindre est double; la corde porte le poids Q par l'intermédiaire d'une poulie M; les brins c6, c'b' sont parallèles, et leur tension commune est égale à la moitié du poids Q. Quand le brin cb s'enroule sur le cylindre de rayon Oft,
U. — MEC. COLUGNON. 27
418 ËQUIUBRE
le brin Vd se déroule du cylindre de rayon OV. Pc angle très-petit, dçt, dont on fait tourner la roue et les dres, le poids Q s'élève de la moitié de la diiTt
Ofc X da — 06' X d% entre .
^eur de corde enroulée et 1
gueur déroulée.
Le travail résistant est donc .^««â
en valeur absolue à
5QX(06xrfa — 06'Xrfa) = |qXc/«X(06--06').
L'équation d'équilibre est
§ Q X rf« (06 — Ob') = P X Oa X da,
OU bien
|QX(06-O6')=PxOfl.
Fig. 249. Tout se passe comme si Ton
employait un treuil dont la roue aurait le m'éme rayon oa, mais dont le cylindre aurait pour diamètre la différence hV des rayons des deux cylindres.
La recherche des pressions sur les tourillons peut se faire par la méthode que nous avons suivie pour le treuil simple.
On remarquera que les deux tensions -^^ appliquées d'abord
en h et en h\ se transportent parallèlement à elles-mônies aux points de Taxe où se projettent les points 6 et V \ puis qu'on peut les composer en une seule, égale à Q, appliquée à Taxe, au milieu de l'intervalle compris entre les deux sections droites où se font Tenroulement et le déroulement du fil.
ÉQUILIBRE nu TREUIL EN TENANT COMPTE DU FROTTEMENT.
274. Revenons au treuil ordinaire, et cherchons les conditions d'équilibre en tenant compte du frottement des tourillons sur leurs paliers. Si le treuil esfc à l'état de repos, il suffit que la résultante des forces qui pressent le tourillon sur la surface de glissement, fasse avec la normale à cette surface un angle moindre que Vangledu frottement. La'solulion est donnée alors par une inégalité, ce qui permet de faire varier les forces extérieures entre certaines limites sans troubler réquilibre. Pour rendre le problème déterminé, on peut supposer que le treuil, tout en restant encore en repos, est sur le point de prendre un mouvement sous l'action des forces qui le sollicitent, hypothèse qui revient à admettre que la résultante de ces forces fait avec la normale à la surface de glissement un angle égal à Vangle du frottement au départ* On pourrait aussi supposer que le treuil est animé. autour de son axe d'un motivement uniforme; dans ce cas les forces extérieures se font équilibre comme si le système était en repos, et de plus le frottement est égal à sa limile, puisque le glissement des corps eu contact a effectivement lieu; la résultante des forces extérieures fait par conséquent avec la normale aux surfaces frottantes un angle égal à Vangle du frottement pendant lemouvement. Mais on ne peut pas affirmer d'avance que Tétat de mouvement n'altère pas les réactions des points fixes, et nous aurions besoin de connaître ces réactions, pour en déduire les frottements qui doivent être introduits dans Téqualion d'équilibre. Supposons donc simplement que le mouvement est sur le point de naître dans un sens déterminé*
Soit OA (fig. 250) le rayon de la roue, tangentiellement à laquelle est appliquée la force P ;
OB, le rayon du cylindre, tangentiellement auquel est suspendu le poids Q ;
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OC, le rayon du tourillon, qui touche au point C la surface MN du palier.
Le mouvement du treuil se faisant ou allant se faire dans le sens de la puissance, on peut supposer que la roue tourne dans le sens de la flèche; le frottement subi par le treuil est dirigé en sens contraire; c'est donc une force F, appliquée au point C, tangentiellement à la circonférence du tourillon.
Outre cette action tangentielle, ^' U surface d'appui MN exerce sur
^'^' ^' le tourillon une action normale S;
et il résulte de notre hypothèse que nous avons la relation .
en désignant par fie coefficient du frottement.
Sur l'autre tourillon, nous aurons de même à considérer une réaction normale S', et une réaction tangentielle ou frottement, P, égale.à S'/*.
Il y a donc équilibre entre les forces P, Q, et les forces inconnues, S, S', et F = Sf, F' = S7.
Prenons les moments par rapport à Taxe projeté en 0; il viendra Téquation
(1) p X OA = Q X OB -h {F H- F') X oc = Q X OB H- (S + S') X /"X OC,
équation où entre la somme inconnue S + S'.
Pour déterminer séparément S et S', et pour trouver la condition d'équilibre entre les forces P et Q,.nous procéderons comme nous l'avons fait dans le § 271 : nous substituerons aux forces P et Q des couples P x OA, Q x OB, et deux forces parallèles P' et P", Q' et Q", appliquées à l'axe 0, dans les plans moyens des tourillons. Nous pouvons de même substituer aux forces F et F' des couples FxOC, F'xOC, en transportant ces forces parallèlement à elles-mêmes en des points de l'axe 0.
Nous obtenons par là, dans des plans parallèles, 4 couples qui se font équilibre en vertu de Téquation des moments (1), et deux groupes de quatre forces, savoir les forces
P', Q', s et F,
appliquées au centre du premier tourillon, et les forces
P", Q^ S' et F',
appliquées au centre du second : ces huit forces se font donc aussi équilibre.
Je dis de plus que chaque groupe considéré séparément est en équilibre. S'il en était autrement, les quatre forces P', Q\ S et F, qui sont appliquées en un même point 0, auraient une résultante, qui devrait faire équilibre à la résultante des quatre autres forces P", Q"? S' et F, appliquées aussi à un même point. Or cela est impossible, car les quatre premières forces sont situées dans un plan normal à l'axe du treuil, et Içur résultante, située dans ce plan, ne peut être égale et opposée a la résultante des quatre forces du second groupe situées dans un plan parallèle. Donc enfin la résultante des forces S et F est égale et opposée à la résultante des forces P' et Q' ; et de même la résultante des forces S' et F' est égale et opposée à la résultante des forces P" et Q".
La résultante des forces S et F, qui sont rectangulaires et liées entre elles par la relation F^S/", est égale à y/S'-f-F' = Sv/ÎT7'. De même la résultante de S' et F' est S'y/l -h/*'. La résultante, des forces P' et Q' peut s'exprimer par le radical
y^p^ 4- Q/4 ^ 2P'Q'cos(P', Q'),
et de même la résultante de P" et Q" par le radical
Y^P*i 4 Q"«-f- 2P"Q"cos(r", Q").
On a donc les deux équations :
s v/îTT* = v/P'* + Q'* H- 2P'Q'cos(P', Q'), s' V'r+T* = v^P"» -f- Q*« H- 2P"Q"cos (F", Q").
