A^ ÉQUILIBRE DU TREUIL
Et substituant dans Téquation (i) les valeurs de S et S", il viendra ^
(2) PxDA = QxOB + — :L=XQC X [v/P'«-|- Q'«+ 2P'Q'cos(P', (T) -h Vp"* h- Q"« -h 2P''Q"cos(P", Q")]-
Dans cette équation, OA, OB, OC sont connus : la force Q est connue en grandeur et en direction ; on en déduit Q' et Q". La force P est inconnue en grandeur, mais' elle est connue en direction ; elle agit dans le plan de la roue du treuil, et, si on la décompose en deux forces P' et P", situées dans les plans moyens des tourillons, on connaîtra les rapports des composantes à la force totale. Les forces P' et P" peuvent donc s'exprimer par des produits de la forme Pp., Pi*', où les coefficients ;* et \>f sont connus d'après les dimensions de la machine. Enfin les angles (P', Q') et (P", Q") sont aussi connus. L'équation (2) ne contient plus qu'une inconnue P, et peut servir à en déterminer la valeur.
Pour cela, le jnieux est de procéder par approximations
successives; on négligera d'abord lé terme contenant les
radicaux, qui est multiplié par un nombre f toujours
petit si la machine est en bon état d'entretien. Cette hypo-
OA thèse fera connaître une valeur de P égale à Qx-j^n; c'est
la valeur exacte que Ton trouve quand on suppose le frottement nul. Cette première valeur de P sert à calculer des valeurs de P' et P" qui, substituées dans les. radicaux, en donnent une première valeur approchée. L'équaiion (2) conduit par suite à une seconde valeur de P, qui sert à en calculer une troisième, et l'on peut pousser ce calcul aussi loin qu'on le voudra.
MÉTHODE d'approximation DU GÉNÉRAL PONGELET.
275. L'équation (2), dégagée de ses radicaux, serait du quatrième degré en P; le général Poncelet a indiqué une méthode
MÉTHODE DE PONGELET. 423
qui permet d'y substituer une équation du premier degré, avec une approximation définie.
Celte méthode repose sur la détermination la plus convenable possible des deux coefficients constants. M et N, pour que la fonction linéaire
M«4-Ny
puisse être substituée, dans un intervalle donné, au radical carré v^aî*-f-t/".
Les radicaux de l'équation (2) sont de la forme
Vx*H-Y«-i-2XYcose;
mais on peut les ramener à la forme sjx^ -h ;/.% en posant
X 4- Y cos.O = X
et
Y sin 0 = y.
Nous supposerons qu'on demande de déterminer M et N de manière que, pour toutes valeurs du rapport - comprises entre 0 et un nombre positif X donné, Verreur relative
y Mx 4- Ny — ^g^ 4- y*
soit la moindre possible en valeur absolue.
Faisons - = ti, et divisons par x les deux termes delà fraction. Elle est ramenée par là à la forme
M + Nti — v'îTw*
Pour tt = 0, elle prend la valeur V = M — 1 .
Elle s'annule pour deux valeurs u' et xf^ satisfaisant à Téquation du second degré
OU bien
(N« — 1) w» + 2MNu 4- (M* — 1) = 0.
Pour que les deux racines de cette équation soient positives,
