F = SA

f étant le coefficient du frottement.

Il y a trois équations pour déterminer quatre inconnues X, Y, S et F. L'une des quatre inconnues est donc arbitraire, et Ion peut imposer au problème une. nouvelle condition ; nous chercherons, par exemple, à rendre la force P la plus petite possible.

JLe problème, se résout géométriquement d'une manière trés-

simple. Le poids (Jet les forces P et R se faisant équilibre au point I, Q est la résultante de deux forces iP', 1R%' égales et opposées aux forces P et R ; la droite IQ est donc la diagonale du parallélogramme IRTQ' construit sur ces deux forces. Dans ce parallélogramme, le côté IR' a une direc^ lion connue ; la force P est représentée en grandeur par la droite QR\ qui joint le point donné Q au point R', extrémité de la droite IR'. La moindre valeur de la force P correspond au minimum de QR% ou à la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite IR', c'êst-à-dîre le minimum cherché a lieu quand on donne à la puissance P une direction perpendiculaire à la droite IR, ou enfin une direction faisant avec la ligne de plus grande pente AB un angle PIY égal à Tangle du frottement.

La solution algébrique du problème s'achèvera donc en posant

Des équations (1), (2), (3) et (4)j on tire

Si a représente Tinclinaison BAH du plan sur l'horizon^ et f Tangle du frottement, on aura

Q'=QcOSa, Q" = Q sin a,

et les formules deviennent

, F = Qcos(a-f ?)sin>, (5) (

Y = QX-'°",+ gr;°" = sin(« + ,)cos,.

X = 0sin(a-+-9))sinç),

Fig. 263.

Remarque. — Nous avons supposé que le corps glissait en montant. S'il glissait en descendant, il n'y aurait qu'à changer la direction du frottement F, ce qui revient à mener la

. droite IR de l'autre côté de la normale IS.

Les formules (5) conviennent encore, pourvu qu'on change 9 en — 9 et qu'on attribue des signes aux forces F, X et Y. Deux cas doivent être distingués.

1** Si le prolongement de la verticale IQ passe dans l'angle SIR (fig. 263), on aura les équations suivantes, en prenant positivement les forces F, Y et X :

Y + Q'' = F, • X-hS = Q', F.= S/;

le minimum de P correspondra à la direction normale à IR, ou à la condition X=Yf. La force P tend à la fois à entraîner le corps le long de la ligne de plus grande pente, et à le détacher du plan.

On déduit de ces quatre équations :

ou bien, en remplaçant Q', Q" et f par leurs valeurs,

S=QC0S(<}) — a)C0S9,

F = Qcos(î>--a)sinç, '

Y = Q sin [f — a) cos f, X = Q sin (<p — «) sin y,

et ces formules donnent pour Y et X des valeurs positives, puisque a est supposé < 9.

2** Si, au contraire (fig. 264), la verlicale IQ prolongée est en dehors de Tangle SIR, on aura les équations

S=Q'-f-X, V=Sf,

Le minimum de P correspond à une direction IP normale à IR, ou à

4)n en déduit

ou bien

S=Qcos(a — f)cosf, F = Qcos(a — y)sinç>, Y = Qsin(a — f)cosçi, X'= Q sin (a — f) sin f. .

Ce cas correspond à a > 9. •

La force P fend ici à retenir le corps et à Tappuyer contre le plan.

3° Enfin, il y a un cas intermédiaire où le poids Q est en prolongement de la réaction R ; la force P est alors nulle, et le corps glisse d'un mouvement uniforme le long du plan incliné : l'inclinaison du plan sur Tliorizon est égale à l'angle du frottement.

Les formules (5) comprennent tous ces cas particuliers, dès qu'on a égard aux signes des forces et de l'angle 9.

283. Application aux traîneaux. — On emploiedans certains pays, pour effectuer les transports sur la neige, des traîneaux MN, glissant sur le sol AB (fig. 265). Le cheval qui mène le

Fig. 265,

traîneau est attelé à un brancard incliné OA, articulé en un point 0, au milieu à peu près de la portée du patin; d'après ce ^ui vient d'être démontré, Tinclinaison la plus avantagerfse. à donner au brancard et aux traits par rapport à la ligne AB est Fangle du frottement. C'est dans celte direction que le cheval dépensera la moindre force en agissant sur le traîneau, soit pour lui faire gravir une rampe (§ 282), soit pour lui faire descendre une pente peu inclinée (g 282, Rem. 1^), soit pour le retenir sur une pente forte (g 282, Rem. 2**). La réaction étant égale et contraire à l'action, le cheval est sollicité obliquement par le brancard ou les traits, suivant qu'il tire ou qu'il relient. Cette force oblique se décompose en deux forces. L'une, horizontale, s'exerce sur le poitrail, par l'intermédiaire du collier, quand le cheval tire ; sur l'arrière-train, par l'intermédiaire du reculoir^ quand le cheval retient : dans lies deux cas, cette force horizontale est équilibrée par le frottement développé au contact des pieds - du cheval avec le sol. L'autre force, verticale, s'exerce tantôt de haut en bas, tantôt de bas en haut ; dans le premier cas, elle appuie la sellette du cheval sur son dos et se transmet de là par les jambes jusqu'au sol ; dans le second cas, elle tend à soulever le cheval au moyen de la sous-ventrière, et est contre-balancée par le poids de l'animal. C'est ce qui arrive toutes les fois que le cheval descend une côte où il est forcé de retenir.

Si le frottement du traîneau éur le sol est très-faible, Tincli-

naison du brancard doit être elle-même très-pelite; ce ijuî conduit à relever le point d'attache, 0, du brancard.