TRAVAIL DU FROTTEMEKT SUR LE PLAN INCLINÉ
28'4. Reprenons la question générale traitée au g 282. Dans tous les cas que nous avons examinés, il y a équilibre entre les trois forces P, Q et R, et par suite la somme algébrique des . travaux de ces forces, pour un déplacement élémentaire quelconque, est égale à zéro. Prenons pour déplacement élémentaire le glissement que subit effectiveriient le corps le long de là ligne de plus grande pente du plan incliné, quand il est animé le long de celte ligne d'un mouvement uniforme. La somme algébrique des travaux des trois forces qui correspondent au déplacement IF est donc nulle. Examinons d'abord le cas où le corps monte (fig. 266). Le travail de la puissance P est égal au produit du déplacement ir par la composante Y parallèle au chemin, ou à YxH'. Le travail de la réaction R est de même égal au produit négatif — F x I F. Enfin le travail de la pesanteur est égal au produit négatif — Q x IT , du poids Q par la quantité dont s'est élevé le centre de gravité du corps mobile. On a donc l'équation
Y xir — F X II'— Q xi'i" = 0.
Si le corps descend (fig. 267), on a l'équation
Y X 11' — F X II' + Q X rr = 0
quand la force P est mouvante, et l'équation -Yxii'— Fxii'-hQxrr=o
quand la force P est employée à retenir le corps. Dans ces trois -équations, le travail du frottement est négatif parce que le
frollemeat est une résistance au glissement du corps ; le trdvail de la pesanteur est positif si le corps descend, négatif s'il . R nïonte; le travail de la force P est po-
sitif ou négatif, suivant que celte force est dirigée dans le sens du mouvement ou en sens contraire.
Faisons lV = d8; nous aurons*
Substituons dans la première équation les valeurs des déplacements et des forces Y, F et Q, données par les équations (5); il viendra pour l'équation du travail, en supprimant les facteurs communs Q et (/«,
sin (a 4- f ) cos ç> — cos (a + <p) sin <p — sin a ^ 0.
Cette équation doit être une identité. En effet, elle exprime simplement que Tare a est la différence des deux arcs a -h 9 et 9. Les équations relatives aux deux autres cas rentrent dans la première, en ayant égard aux signes des forces Y et F, et de l'angle ©. •
285. Le cheval qui mène un traîneau le long d'une route, avec.une vitesse constante, exerce sur ce traîneau un force P, dont la composante Y produit seule un travail ; l'autre composante, X, est perpendiculaire au chemin décrit, et son travail est constamment nul. Le cheval se trouve à l'égard de cette composante dans là situation d'un support chargé du poids X.
Le travail du ctieval dû à la composante Y se partage ensuite en deux parties : l'une qui correspond au travail de la pesanteur, et l'autre au travail du frottement. Si la route que le traîneau parcourt est horizontale, le travail développé par le cheval est entièrement absorbé par le frottement.
Remarquons, en passant, que la force X, bien qu'elle ne produise pas de travail, contribue aussi bien que la force Y à fatiguer le cheval, et qu'il y a lieu de réduire cette charge audessous d'une certaine limite, pour laisser à Panimal la liberté
SUR LE PUN INCyNÉ. 445
de développer dans de bonnes conditions Veffort utile Y qu'on lui dennahde. Théoriquement, on pourrait réduire à zéro le travail à fournir sur une route horizontale, en plaçant sur le dos du cheval la totalité du fardeau à transporter ; car celte disposition rendrait nulle la composante Y; mais elle augmenterait la force X et imposerait au cheval une charge qui pourrait excéder ses forces.
En d'autres termes, le cheval, considéré comme bête de somme^^ ne peut transporter qu'une faible fraclion du poids qu'il traînerait sur une bonne route, sur laquelle le coefficient de frottement est petit.
LQUILIBRE DU CQLN.
286. Le coin est un prisme triangulaire, ABC, qu'une force P enfonce entre deux corps E et F, qu'il s'agit de séparer. On demande la condition d'équilibre entre la puissance P, et les réactions que les corps E et F exercent sur les faces latérales AC, BC, du coin.
Généralement la section droite ABC du coin est un triangle isocèle, et les corps E et F sont de jnême nature. Nous adopterons <:es hypothèses, qui simplifient le problème. pî^ 268.
La force P est appliquée dans le plan moyen CD du prisme, perpendiculairement à la face AB.
Cherchons les conditions d'équilibre au moment où le glissement du coin va se produire sur les corps voisins. Alors la réaction du corps F sur le coin sera une force R, dont on peut assigner la direction : elle fait avec la perpendiculaire GIl à la face BC, dans le sens opposé au mouvement, un angle HGR égal à l'angle 9 du frottement. Le frottement étant le même sur la face AC, la réaction R' sur celte face fait dans le même sens, avec la normale Ll au plan AC, un angle égal
à 9. On ne connaît pas les points d'application, G et L, de ces réactions, qui ne sont en réalité que les résultantes des actions élémentaires développées au contact des corps frottants, de M en N, et de M' en N'. Tout ce qu'on sait, c'est que la résultante deadeux forces R et R' est égale et contraire a la force P. Les trois forces passent donc par un même point 0 ; et par suite, on aura les valeurs des forces R et R' en prenant sur la médiane CD du triangle ABC, direction de la force donnée P, un point 0 quelconque, en menant par ce point-deux droites OL, OG, faisant avec les faces AC, BC, des angles égaux 5 90** — o, f t en décomposant la force P, transportée au point 0, suivant les directions OG, OL.
Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que l'angle 90" — 9 soit plus grand que la moitié de Fangle C, au soni-
met du coin, ou qu'on ait 9 -f- ^ < 90°.
Le théorème du travail virtuel fait connaître le rappoit des forces P et R.
* Imprimons au coin ABC un déplacement DD' infiniment petit, qui l'amène en A'B'C (fig. 268). *Nous pouvons admettre que le corps E reste fixe, et que le corps F subit seul le déplacement dû à l'enfoncenâent du coin. Décomposons les forces R et R' en deux composantes, l'une normale à la face du coin, p l'autre située dans cette face ; f étant
j le coefficient du frottement, la com-
posante normale de R et de R' sera
y , 4 ^, et la composante tangenlielle,
-;===. Le point L se transporte
en L', par suite- du déplacement du coin, à une distance LL'=AA' de sa position primitive. Le point G se transporte en G', à une pareille distance; mais nous pouvons décomposer le chemin GG' en deux chemins G'G", G'G", l'un normal, l'autre parallèle à la face 6C du coin.
