TRAVAIL DU FROTTEMENT DANS LES ENGRENAGES
300. Revenons au premier cas. Nous avons posé les deux équations
Fx0m=Hx0K-|-/'Hx0I, .
H X O'K' -+- /"H X CI' = F' X O'm'.
On peut les écrire, en résolvant par rapport à F et F' :
,0K-|-/-x0I „/ . , - . fp\ — ■ = H|sma + /^cos«rK^j î
Om
F' = H /"sina -h/cosa — ^ V
Cette dernière se déduit de la précédente en changeant y en — p, et R en R'.
Retranchant, il viendra
S'il n'y avait pas de frottement, on aurait F = F'. Le frottement développé dans l'engrenage équivaut donc à une force F — F', appliquée tangentiellement à l'une des circonférences
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primitives, et la valeur de celte force est Ufp (ïr + s-, )•
Pour avoir le travail du frottement correspondant à un arc ds décrit par les circonférences primitives, il suffira de multiplier par ds ; on aura
et pour avoir le travail total correspondant à un déplacement fini, d'un pas par exemple, on fera l'intégrale de cette expression entre les limites 0 et a, en désignant par a Téteridue du pas. Le travail du frottement pour un pas est donc
L'intégrale s'obtient approximativement parla méthode suivante. Observons que la longueur AP = p est sensiblement égale à l'arc AB =5, lorsque le point de contact P est suffisamment près de la ligne des centres. De plus la réaction mutuelle H est sensiblement égale à la résistance F'. En effet, en négligeant le terme en p dans Téquation
F' = ]f(sin a -h fcos a - ^^\ ,
il vient
cos^
L'angle 9 a une petite valeur dans un engrenage bien graissé, et a -h 9 est voisin de Tangle droit ; donc le rapport
^ ^ est voism de 1 unité.
cos 9
Remplaçons, sous le signe /, p par 5 et H par F' ; il viendra pour le travail du frottement
Mais Fa est le travail de la résistance F' pour un déplace-
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ment égal à un pas : c'est le travail utile; représentons-le par T„. La formule devient alors
Sous cette forme Téquation peut s'appliquer à un nombre quelconque de pas. On peut y introduire les nombres de dents, au lieu des rayons et du pas; car n et n' étant les nombres des dents de chaque roue, on a
Donc La formule définitive du travail du frottement est
Le travail moteur total T^ surpasse le travail utile du travail du frottement, et Ton a
OU bien
T„=T.[l + nr(^ + i)]-
T Le rendement j^?- est exprimé par la fraction
Il est d'autant plus près de Tunité que les nombres de dents n et n' sont plus grands. De là l'avantage qu'il y a à augmenter le nombre de dents des roues.
301.. La même formule s'applique approximativement au cas où il y aurait à la fois deux paires de dents en prise. Appelons H et H' les réactions normales aux points de contact des deux paires de dents, p et p' les distances de ces points au point A ; appelons enfin ds Tare infiniment petit décrit dans
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le même temps par chaque circonférence primitive. Le travail élémentaire du frottement sera encore
rHH.(J+|,)+r«rA(,V+^,):
et appelant a la longueur du pas, le travail pour un pas sera
l'intégrale
Les réactions H et H' sont varitibles : mais on peut les faire sortir des signes / en leur attribuant une valeur moyenne. On est ramené à intégrer fds et f'ds; si l'on fait p = s, on devra fairep'=a — s, car la somme p+p' est sensiblement égale au pas a.
0 Jo Jo Jo
ds
La somme H -h H' est égale en moyenne à la résistance F' ; on retrouve en définitive pour le travail du frottement dans cette hypothèse
ou bien
formule déjà obtenue pour le cas où il n'y aurait qu'une paire de dents en prise.
302. La même formule convient encore aux engrenages intérieurs; il suffît d'y clianger le signe de l'un des rayons, ce qui revient à changer le signe du nombre de dents correspondant. On a alors
et
