DE VARIGNON

les directions d^s côtés successifs du polygone funiculaire, et les valeurs des tensions qui y sont développées.

Remarquons encore que, si Ton considère une portion quelconque du polygone funiculaire, les tensions dans les côtés extrêmes qui limitent cette portion, font équilibre aux forces extérieures appliquées aux «ommets intermédiaires; ainsi, les tensions T^ et T^ font équilibre aux forces F' et F', et les tensions T^ et T3 aux forces F et F'.

320. Delà résulte un moyen de trouver la résultante de forces données situées dans un même plan.

Soient F, F', F" (fig. 306), les forces données. En un point A de la direction de l'une d'elles, on appliquera une force quelconque AR ; on composera cette force R avec la force F transportée en A, ce qui donnera une résultante Am. La direction de cette résultante, prolongée si cela est nécessaire, rencontre en B la direction de la force F'. Transportons en B les forces Am et F' ; puis composons-les, ce qui nous donnera la résultante Bw ; prolongeons de même la direction de cette résultante, qui coupe la direction de F'' en C ; transportons en

Fiff S06

ce point les forces F" et Bn, et composons-les pour avoir leur résultante Cp ; considérons enfin une force S, appliquée en C, égale et contraire à Cp. Nous pouvons imaginer un polygone funiculaire RABCS, qui sera en équilibre, en vertu de notre construction, sous l'action des forces R, F, F', P', S ; les forces extrêmes R et S représentent les tensions des côtés extrêmes de ce polygone.

Ces forces R et S font équilibre aux forces F, F', F", et leur résultante est égale et contraire à la résultante cherchée. Prolongeqns les directions AR, CS, jusqu'à leur rencontre en D; transportons en ce point les forces R et S, et achevons le parallélogramme T)rVs; la diagonale DP sera

égale et opposée à la résultante des forces données. La droite finie PD représentera donc en grandeur, en position et en sens, la résultante cherchée. •

321. Le tablier des ponts suspendus est attaché par des tiges verticales équidistantes aux sommets d'un polygone funiculaire. Proposons-nous de trouver la forme d'équilibre de ce polygone et les valeurs des tensions développées dans ses divers côtés, en supposant que chaque tige ait à supporter un poids égal.

Soit ABCDEF un fragment du polygone; les poids égaux, P, P', F',...

sont suspendus aux sommets B, C, D, . . . dont les distances hprfzontales sont constantes et connues. Soient T,,, T^, T,, ... les tensions développées dans les côtés successifs.

Construisons le polygone de Varignon. Pour cela, par un point 0 quelconque, menons une droite Oa parallèle au côté AB, et égale en longueur à la tension T^ de ce côté. Menons par le point a une droite verticale az, sur laquelle nous prendrons des longueurs successives ab, bc, cd, de, ... égales entre elles et au poids P suspendu à chacune des tiges. Joignons ensuite Ofr, Oc, Od, Oe, ... ; ces droites seront parallèles aux côtés BC, CD, DE, ... du polygone, et leurs longueurs respectives représenteront les valeurs des tensions T^, T^, T3, ^.! des mêmes côtés.

Etant données la direction AB du premier côté, et la valeur To de la tension qui y est développée, la figure auxiliaire Oabcd ... permettra de construire le polygone; car on sait

Fig. 507.

que les sommets de ce polygone se trouvent sur les droites équidistantes PB, P'C, PD, ... ; on trouvera, par conséquent» la position du sommet C sur la droite P'C en menant par le sommet B une parallèle BC à la droite 06 ; parle point C ainsi obtenu, on mènera à Oc une parallèle CD, qui déterminera le point D sur la droite PD, et ainsi de suite.

Supposons, pour fixer les idées, que la chaîne polygonale du pont suspendu ait un côté horizontal AB, réunissant deux parties symétriques (fig. 308) ; on aura, par exemple, à droite du cô{é AB les frois côtés inclinés BC, CD, DE, et à gauche les trois côtés AC, CD', D'E', symétriques des premiers par rapport à la verticale lY, menée par le milieu du côté central. Les poinls E et E' sont les points d'attache de la chaîne aux culées du pont. Désignons encore par la lettre P le poids suspendu à Tun quelconque des sommets du polygone, à l'exclusion des sommets E et E', qui ne portent pas de poids semblables, le poids total porté par la chaîne ser^ égal à 2nP, en désignant par n le nombre des sommets chargés dans la moitié du pont, et ce poids se partage également, à cause de la symétrie de la figure et des charges, entre les deux appuis, E etE'. Cherchons la valeur de la tension Tq dans le côté AB; pour cela, il suffit d'exprimer que cette tension fait équilibre, à l'aide de la réaction du point E, aux poids appliqués à la moitié de la chaîne; prenons les moments par rapport au point E, ce qui élimine la réaction de ce point. Soit h la dislance IG du côlé AB à la droite horizontale EE' ; et soit a la distance horizontale entre deux tiges consécutives, distance que nous supposerons aussi entre le dernier sommet chargé D et la verticale du point d'appui. Le moment de T^, par rapport au point A, est TqX A; il fait équilibre à la somme des moments des poids P, c'est-à-dire à

PXnfl + PX(n — J)rt!4-PX (« — 2)a + . . . + P X «.

Cette somme est égale à

Pfl><(i+2+3+... -+-n) = PflX-

et on a l'égalité

ou bien

T.xA^^Paxîii^.

.^ P« Hjn + l)

Connaissant T^, on pourra construire le polygone de Varignon, qui permettra ensuite de trouver la forme à donner à la chaîne.

En appliquant la remarque faite au § 520, on voit que les côtés CD, AB, prolongés, se couperont en un point M, qui appartiendra à la résultante des forces BP, CP', et qui, par suile, sera au milieu de la distance horizontale des points B et C; de même DE, prolongé, coupera la direction AB au point N, sur la résultante dès trois forces égales P, P', P''. On pourra prolonger aussi loin qu'on le voudra le tracé du polygone par cette considération* : il suffit pour obtenir un nouveau côté de joindre le dernier sommet obtenu au milieu de l'intervalle compris sur Thorizontale AX entre le point B et la projection de ce dernier sommet.

322. On peut aussi calculer les coordonnées des sommets successifs. Prenons pour axes coordonnés les droites IX, lY. Le point B a pour coordonnées

Le point C a cour abscisse aî = ^ a , et pour ordonnée une

quantité CN, que l'on peut construire au moyen du polygone de Varignon, ou bien déterminer directement, en composant la force P avec la tension T^, et /en prolongeant la direction de la résultante jusqu'à la rencontre de la verticale CF.

Représentons par b cette quantité CN. Nous aurons pour les coordonnées du ooînt C,

coordonnées du point C,

Les coordonnées du point D sont ^r =:-^, t/= DL; prolongeons le côté BC jusqu'à sa rencontre en R avec DL ; la quantité DL est la somme des deux parties RL et DR; or RL est double de CN, ou égale à 26; quant à DR, le polygone de Varignon, ou la composition des forces, montre qu'elle est égale à CN ou à b. Donc j/= 26 4- 6.

Le quatrième'sommet E aura pour coordonnées

x = 1^ et 2^=36 + 26+6,

car, en prolongeant CD, BC, jusqu'aux points S et T, on a TS = DRx2, etSU=GNx3. Enfin, on reconnaîtrait, toujours de la même manière, que TE est égal à CN ou à 6. •

Cette loi est générale, et les coordonnées du n*^"" sommet à partir du sommet B inclusivement, seront données par les formules :

On démontre au moyen de ces formules que le polygone BCDE ... est inscriptible dans une paraT)ole. Il suffit pour le faire voir d^éliminer n entre les deux équations.

Or 2m — 1, qui nous est donné par la première, est égal à la somme n+- (n — 1) ; la seconde équation nous fait connaître le produit 71 (n — 1); enfin la différence n — (n — 1) est égale à T unité. Écrivons donc