FORCE

suivant MM", est uniforme; l'autre, suivant M"M',est uniformément varié, et l'accélération j de ce mouvement est égale à la

limite du rapport , ' , L'accélération est donc proportionnelle à M^M', c'est-à-dire à la' déviation produite par l'intervention de la force. On peut considérer laccélération comme proportionnelle à la force elle-même; caria force n'est connue que par son effet, et il est, par conséquent, naturel de la regarder comme proportionnelle à cet effet. • 4. L'expression, point matériel^ dont nous venons de nous servir, a besoin d'être définie. Un point matériel est un corps réduit par la pensée à des dimensions tellement petites, qu'on puisse Tassimiler à un véritable point géométrique; un point matériel n'a pas de forme définie; sa forme est indifférente. On obtient des points matériels en décomposant un corps en une infinité de parties infiniment petites dans tous les sens; les solides élémentaires ainsi obtenus forment le corps par leur réunion. La force étant mesurée par l'accéléralion qu'elle imprime à un point matériel, nous pourrons définir le rapport de deux forces par le rapport des accélérations qu'elles imprimeraient successivement à un même point matériel, sur lequel elles agiraient seules. Une force est égale au double, au triple, au quadruple,... d'une autre force," si la première imprime au même point matériel une accélération double, triple, quadruple,... de l'accélération produite par la seconde.

5. Le second principe de la mécanique est le principe de Vindépendance des effets des forces les unes à l égard des autres^ et de toutes à V égard du mouvement antérieurement acquis.

En vertu de ce principe, pour trouver l'effet produit par une force particulière appliquée à un point malériel en mouvement et sollicité par d'autres forces, on peut chercher Teffet produit, sur le point en repos, par cette force particulière à l'exclusion de toutes les autres; puis composer successivement tous les effets de même ordre qu'on a déterminés séparément. Supposons, par exemple, qu'un point matériel M^

animé à un certain instant d'une vitesse V, soit sollicité en même temps par des forces F, F', F",... qui, prises individuellement, imprimeraient à ce point, dans leurs propres directions, des accélérations;, /, j"... En vertu du mouvement antérieurement acquis, c'est-à-dire en vertu dfirinèrtie,lepoint M parcourra pendant un certain temps d(, que nous supposerons très-court, un espace MM'=Vdt daiis la direction de la tangente à sa trajectoire. Pour avoir l'effet produit par la force F, il faudra prendre, sur la direction M'F dé cette force, une longueur M'A = |jd/*; cette longueur M'A serait celle que la force F, prise seule, ferait parcourir dans le temps dt au point mobile partant du repos. On obtiendra de même les longueurs M'A'= i j'rf^% M^A"= \f'dt\ M'A'" = 1 j"' dt\ . . . correspondantes aux forces F', F", F'", . . considérées individuellement . 11 restera , pour trouver le déplacement effectif du point, à composer ensemble,comme on Ta vu en cinématique (§ 69) ,les déplacements

partiels M'A, M'A', M'A", M'A'", dus aux forces. On construira le polygone M^AA^A^'^R, et la droite M'R, qui ferme ce polygone, sera le déplacement cherché. Tout se passe donc, en vertu du second principe, comme si aux forces Fig. 2. données F, F', F", F'",... on sub-

stituait une force unique R, agissant dans la direction M'R, et produisant sur le point matériel une accélération J telle, que Ton. ait l'égalité

Cette force R s'appelle la résultante des forces F, F', F", F'",...; les forces F, F', ... sont les composantes de la force R. La résultante et les composantes sont respectivement proportionnelles aux accélérations J, j, /, j" , j"',..., et ces accélérations sont proportionnelles aux côtés M'R, M'A, M'A', M'A", M'A'",... qui concourent à farmer le polygone M'AA'^A"^R. De là on déduit ce théorème : Lorsque plusieurs forces, agissant si-

multanément mr un même pointy sont représentées en grandeur et en direction par des droites^ leur résultante^ c'est-à-dire la force unique équivalente à V ensemble des forces données, est aussi représentée en grandeur et en direction par le dernier côté du polygone construit en portant les droites données bout à bout^ chacune parallèlement à sa direction propre. .

La règle du parallélogramme des forces^ qui est d'un usage très-fréquent en mécanique, n'est qu'un cas particulier de ce théorème. Lorsque deux forces agissent simultanément sur un point matériel^ et quon lés représente en grandeur et en direction par des droites, la résultante de ces deux forces est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux droites composantes.

Dé la règle particulière du parallélogramme il serait aisé de remonter à la proposition générale, relative au polygone des forces.

On doit remarquer celte manière de représenter les forces par des droites finies. Une force F est déterminée quand on connaît son point d'application, sa direction et son intensité. Soit A le point d'application de la force, AC la direction dans laquelle elle agit; prenons sur cette direction , à partir du point A , une longueur AB, égale à la force F, estimée à une échelle arbitraire ; la droite j,. ^ finie AB représentera tout ce qu'il est nécessaire de connaître pour définir entièrement la force F. Par direction de la force, on doit entendre, non-seulement la droite indéfinie suivant laquelle elle sollicite le point, mais encore \e sens particulier dans lequel s'exerce celte action; autrement, on pourrait confondre la force F avec une force égale et opposée.

Pour distinguer Tune de Taulre deux forces égales et agissant en sens contraires, suivant la môme direction ou suivant des directions parallèles, on convieat d'attribuer à l'une lé signe -h, qu'on peut sous-entendre, et à l'autre le signe — ; la force F, considérée comme positive^ représentera une force

égale et contraire à la force —F; le signe — indique seulement que les forces F et — F agissent Tune en sens contraire deTaulre.

6. Le troisième principe de la mécanique est le principe de V égalité de r action et de la réaction; il est dû à Newton. Un exemple fera comprendre en quoi il consiste. Considérons un corps pesant posé sur une table. Ce corps presse la table de tout son poids : voilà Vaction; elle est l'effet de la pesanteur, et s'exerce verticalement de haut en bas. La table à son tour exerce sur le corps, suivant la verticale, mais de bas en haut, une certaine pression égale et contraire a l'action qu'elle subit : c'est la réaction, Véquilibre du corps sur la table résulte de la coexistence de ces deux forces égales et contraires : le poids du corps, qui tend à lé faire descendre et le presse contre la table, et la réaction de la table qui , en vertu du troisième principe, est égale et contraire à l'action, et presse la table contre le corps.

Si, au lieu d'être en repos, le corps pesant était en mou-^ vement, le troisième principe serait moins évident, mais il s'appliquerait encore; le corps subirait à chaque instant, de la part de la table, une réaction égale et contraire à l'action qu'il exercerait sur elle ; mais il ne serait pas toujours vrai de dire que cette action est égale au poids du corps.

C'est en vertu du troisième principe qu'une personne ne produit aucun mouvement général de son corps en essayant de se souieevr par les cheveux. Il est vrai qu'en faisant cette expérience, elle applique à son corps une certaine force qui tendii rélever. Mais à cette force correspond une réaction égale et contraire, et comme ces deux forces sont appliquées aii môme système matériel, à savoir au corps de l'expérimentateur, l une détruit le mouvement général que l'autre tendrait à lui communiquer.

7. Pour formuler avec netteté le principe de l'action et de Ja réaction, il est bon de commencer par exposer sommairement la théorie moléculaire qui est aujourd'hui la base de toute la physique.

On admet que tous les corps qui se trouvent dans l'univers, qu'ils soient solides, liquides ou gazeux, sont formés chacun par l'agrégation d*uii nombre extrêmement grand de particules très-petites, appelées molécules^ séparées les unes des autres par des intervalles du môme ordre de grandeur que leurs dimensions propres. Les corps solides sont ceux où Farrangement des molécules constitutives est fixé de telle sorte qu'il faille un grand effort pour faire varier sensiblement leurs positions relatives. Les corps liquides ou gazeux, qu'on réunit sous la dénomination commune de corps fluides y ont, au contraire, des molécules libres, pour ainsi dire, de glisser ou de rouler les unes sur les autres, d'où résulte que ces sortes de corps n'ont pas par eux-mêmes de forme extérieure bien déterminée. Les molécules sont tellement petites, qu'au point de vue mécanique, on peut les confondre sans aucune erreur avec les points matériels que nous avons définis plus haut. Il y a cependant une différence essentielle entre ces deux expressions : point matériel s'applique à un objet fictif, géométriquement défini, et n'existant que dans la pensée, tandis que molécule indique un objet physique, auquel une théorie généralement admise attribue une existence réelle.

Les forces naturelles établissent un lien entre toutes les molécules, que la théorie précédente sépare les unes dés autres ; et c'est ici qu'intervient le principe de l'action et de la réaction.

Considérons en particulier deux molécules A et B; on admet que chacune d'elles exerce une action sur l'autre ; que cette

Fig. 4. Fig. 5.

action est dirigée suivant la droite AB qui joint les deux molécules ; que Faction de A sur B est égale et contraire à l'action de B sur A; qu'enfin cette action mutuelle varie avec la distance AB suivant une certaine loi. Si l'action de B sur A est une force F, dirigée de A vers B, l'action de A sur B sera une force — F, égale et contraire à F, et dirigée de B vers A.

Les actions muluelles sont alors attractives. S\^ au contraire, l'action de A sur B est une force F', dirigée suivant le prolongement de la droite AB, Faclion de B sur A sera une force — F', égale et contraire à F', et dirigée suivant le prolongement de BA; ces actions mutuelles sont répulsives. Mais, répulsives ou attractives, les actions sont toujours mutuelles, c'est-àdire égales et contraires, en vertu du troisième principe.

Chaque molécule de Tunivers agit sur toutes les autres molécules, et subit à la fois de la part de celles-ci des actions égales et contraires aux actions qu'elle exerce sur elles. Le principe de l'inertie refuse à la molécule la propriété de modifier d'elle-même son mouvement ou son repos ; la théorie moléculaire accorde à chaque molécule la propriété d'agir sur toutes les autres, qui à leur tour réagissent sur la première.

Il résulte du troisième principe que si, par un moyen quelconque, on rend invariable la distance AB des deux molécules A et B, les actions mutuelles qu'elles exercent ne contribueront en aucune façon à faire prendre un mouvement au système ainsi formé et supposé en repos. Car si l'une des forces F tend à entraîner le système dans le sens AB, la force égale et contraire — F tend à l'entraîner en sens opposé»

8, Les forces appliquées aux différents points d'un système matériel peuvent être partagées en deux classes : les forces intérieures et les forces extérieures. Les forces intérieures sont celles qui proviennent de l'action des points du système les uns sur les autres; elles sont donc toujours binaires, mutuelles ou conjuguées : à chacune correspond une force égale et opposée, appliquée au système comme la première. Les forces extérieures sont celles qui proviennent de l'action exercée sur le système par les points situés au dehors ; le troisième principe nous apprend qu'elles sont encore mutuelles, c'est-à-dire qu'à chacune correspond une force égale et opposée, mais cette léaction n'est plus appliquée à un point du système considéré, et on n'aura pas à en tenir compte si l'on a seulement en vue le mouvement ou l'équilibre de ce système ; les forces extérieures, figureront donc isolées dans les raisonnements^ tandis

que les forces inlérieutes formeront deux à deux des groupes de forces conjuguées.

Une force intérieure pour un système donné peut devenir force extérieure lorsque, par une décomposition particulière du syslcuie, on isole Tun de l'autre les deux points entre lesquels s'exerçaient cetle force et la force égale et opposée. Par exemple, le poids d un corps placé à la surface de la terre, et la réaction. de la terre sur ce corps, forment un groupe de forces intérieures mutuelles, dans le système comprenant Tensemble du corps et de la terre. Le poids du corps est une force extérieure pour le système matériel formé par lé corps pris séparément.

De même, l'attraction exercée par la terre sur le soleil est égale à l'attraction exercée par le soleil sur la terre, et ces deux forces égales et contraires constituent un groupe de forces conjuguées dans le système du soleil et de la terre, pris ensemble. L'attraction du soleil sur la terre est une force extérieure pour la terre, considérée seule.

9. Le problème général de la mécanique peut être posé en ces termes :

Un corps ou un système de corps étant donnée quel mouvement prendra-t'il sous l'action de forces données^ constantes ou variables ? Ou quelles forces faut-il appliquer à ce corps ou à ce système pour qu'il prenne un mouvement donné?

Le problème de l'équilibre est un cas particulier de ce problème général : Un corps ou un système de corps est sollicite par des forces données; à quelles conditions doivent satisfaire ces forces pour que le corps ou le système reste en équilibre? Nous commencerons l'étude de la mécanique par traiter le problème de l'équilibre, parce qu'il est plus simple et plus élémentaire que celui du mouvement. Le premier est l'objet delà statique j le second, delà dynamique.