Reprenons les irois équations
Zds.
Développons le premier membre : .
as cls
lis as
Multiplions la première par dx^ la seconde par dj/, la troisième par dz, et ajoutons. 11 viendra, en divisant par ds,
ds^ • \ ds cls as ds ds ds /
■i-(\dx-^Ydy-j-Zdz) = Oy
équ.ation qui se simplifie, en observant q.ue ce qui donne en différentiant
dx j dx , dy , dy , dz , dz ^ ds ds ds ds ds ds
Le coefficient de dT est donc égal à l'unité, et le coefficient de T à zéro ; l'équation prend la forme
dT-^[\dx-\-\dy-hldz):=^0. ' * (2)
L'arc s est éliniiné. Supposons que X, Y, Z, soient des fonctions connues de x^y^z; il ne restera plus dans cette relation que la tension T et les coordonnées du point auquel cette tension est développée. •
Cela posé, si la fonction \dx H- Ydy -h Idz est la différentielle d^ une fonction 9 {x^ y, z) des coordonnées, on pourra intégrer l'équation (2) indépendamment des équations (1), et l'intégrale sera
C étant une conslante arbitraire. Dains ce cas, la tension T est déterminée analytiquement^ à une constante près ^ pour un point quelconque de V espace.
La tension T a la même valeur pour tous les points qui
donnent la même valeur à la fonction ç. Le lieu des points de l'espace où la tension a une valeur donnée, est donc la surface représentée par l'équation
.9 (a:, y, 5) = COnst., (4)*
équation qui, en altribuant successivement à la constante différentes valeurs, représente une famille de surfaces le long de chacune desquelles la tension a une même valeur. Une fois la tension connue en un point de l'espace, elle est connue pour tous les autres, car cela suffit pour fixer la valeur qu'il convient d'allribuerà la constante.
Ces surfaces sont appelées surfaces de niveau; nous les retrouverons dans la théorie des forces vives et dans l'hydrostatique. Leur principal ) propriété, c'est d'être en chaque point normales à la force F appliquée à ce point. C'est ce qu'indique l'équalion
que l'on obtient par hypothèse en différentiant Téquation (4) ; car elle exprime que la direction de la force F définie par les
cosinus -û, iT, û, fait un angle droit avec une direction -^,
t r r fis
-^ , -T-, prise comme on voudra sur la surface définie par Tô-
quation (4).
Supposons, par exemple, que la force F soit la pesanteur, et qu'on prenne l'axe OZ vertical; on auraX=0, Y = 0 : de plus Z sera constant si le fil a partout le même poids par unité de longueur. Les surfaces de niveau sont alors définies par l'équation d» = 0, ou, en intégrant, par l'équation
qui représente une série de plans horizontaux. Il en serait de môme si Z, au lieu d'être constant, était une fonction de z.
Tous ces résultats exigent que les conditions suivantes soient remplies :
1° 11 faut que X, Y, Z, soient exprimables en fonction de x, î/, a, seuls;
2** Il faut que Xdx -hXdy -h Idz soit une différentielle exacte, c'est-à-dire que les fonctions X, Y, Zj satisfassent aux
égalités
rfX dY
d\ dl
. dy ~~ dx '
dz^dx"
dz dy
527. Cherchons la courbe d'équilibre dessinée par un fil qui serait sollicité par des poids répartis uniformément sur 4a projection horizontale de ce fil, à raison dep kilogrammes par unité de longueur. Prenons l'axe des z verlical et montant. Nous aurons d'abord X=0, Y=0; pour évaluer Zy remarquons que Ids représente dans nos équations la force totale qui agit sur l'élément ds\ or ici ce n'est pas Z qui est constant, car il en résulterait que le fil serait chargé d'un poids constant par unité de longueur mesurée sur le fil lui-même. L'élément ds fait avec le plan horizontal un angle
dont le sinus est -,- ; le cosinus de cet angle est i/ 1 — -^^i
ds'
et l'arc ds a pour projection horizontale ^ds^^-dz*^ ou yj dx^-hdy^. C'est à cette longueur que Vapplique le poids constant p, et Ton doit avoir
2) ^dx* + dy* = — Ids,
d'où résulte
'^^ Sldx* + dy\ ' ds
Le signe — indique que la force Ids est dirigée en seiis contraire de l'axe OZ. ' • Les trois équations d'équilibre nous donnent donc
