PARABOLE

On lire des premières

ds • ^ (/« - "'

A et B étant des constantes.

Ces équations nous apprennent que les composantes horizontales de la tension sont constantes en tous les points de la courbe.

Si Ton multiplie la première par dy, la seconde par dx^ et qu'on retranche, il vient l'équation

kdy — Hdx = 0,

qui intégrée donne

Ay — Ba:=C,

équation d'un plan vertical. La courbe est donc plane. Nous pourrons prendre le plan de la courbe pour plan des ZOX; cela revient à faire y = 0 et dî/ = 0. La troisième équation devient alors

Intégrant, on a

G désignant une nouvelle constante, et par .^uite on a à la fois

Multiplions la première par dz et la seconde par dx, et retranchons ; il viendra

0 = Xdx — Gdx — pxdx,

et en intégrant

ll = Aa- Gx — ^;>a;«,

équation d'une- parabole; H est une nouvelle conslante. La tension T s'obtient en ajoutant les mêmes équations élevées au carré; il vient éh effet

La solution contient 5 constantes arbitraires si Ton ne connaît pas d'avance le plan vertical contenant la courbe, et 3 seulement si Ton connaît ce plan. Supposons qu'on donne deux points de la courbe ; le plan vertical qui la renferme sera déterminé par ces deux points, sauf le cas où les deux points seraient situés sur la même verticale. Il n'y aura donc plus que 3 constantes à déterminer, A, G et H, On y parviendra en exprimant que la courbe passe par chacun des points donnés, et qu'elle a une longueur donnée entre ces deux points ; ce qui fournira en effet 3 équations distinctes, permettant de déterminer 3 inconnues.

Si les deux points donnés étaient sur la même verticale, la parabok se changerait en cette verticale elle-même ; on aurait A=0, a; aurait une valeur constante, elp serait infini.

Ce problème n'admet pas de surfaces de niveau, parce que les valeurs de X, Y, Z, ne sont pas exprimables à priori en fonction des coordonnées x, i/, z.

328. On parvient géométriquement aux mêmes résultats. Le fil en équilibre est tout entier contenu dans le plan vertical; la force qui sollicite chaque élément étant parallèle à une même direction, l'indicatrice des tensions est plane ; la courbe funiculaire l'est aussi, puisque tous ses plans osculateùrs sont parallèles au plan de l'indicatrice.

Supposons, pour plus de simplicité, que le fil ABC soit

attaché à des points fixes A et C, a b c

situés à égale hauteur ; soit B ^\^ f/^ ~y^

son point le plus bas. Les 1 ^^^Z^y--^=A^^..Ji:^^..^ .

poids qui le sollicitent sont sup- ^'' ** *" j

posés uniformément répartis p^

suivant l'horizontale; p est le Fig. sil

poids qui charge le fil par unité de longueur horizontale; soit 2a la portée AC , partagée au point B en deux parties