DE MINIMUM

la fonction 9(5) est assujettie à s'annuler au point A pour «=0, et au point B pour S = AB ; pour toutes les valeurs intermédiaires, elle reste arbitraire et infiniment petite. On en déduit, en différentiant et en divisant par ds,

L'arc mn engendre dans sa révolution autour de OX un élément de surface égal à i'Kyds; l'élément mV engendre de même un élément 2% y'ds\ en. appelant y' l'ordonnée m'p'. De sorte qu'en supprimant le facteur constant 2tc, la condition du-minimum se traduit par l'équation

Nous connaissons déjà ds' en fonction ds. Pour évaluer de même y\ observons que la différence y — j/' est égale à la projection sur Taxe Oy de mm' ou de u; on aura donc, en appelant a Tangle de la tangente à la courbe avec l'axe OX,

y — y^ = ucosK et

yf=:y — UCOSa.

Substituant à 1/' et à ds' leurs valeurs, et développant, il vient

I yds= j (î/ — wcosa) H +- jds

î/Js— / U cos K ds -\- l ^ds— l —

COSads.

Réduisant, et supprimant le dernier terme qui est infiniment petit par rapport aux autres, on a pour condition du minimum

/»B I f — rfs — WCOSarf« j = 0.

Mais cos a est le rapport de l'ordonnée wp à la normale mR. Soit mR = N; on aura cos a ==^, et

L'équation devient donc

Remplaçons yu par sa valeur <p' (5), et intégrons par parties. Il viendra

fonction qu'il faut prendre entre les limites correspondantes aux points A et B; or à ces limites <p(s) est nul.

L'intégrale, l (f(s)d.( « ) doit donc être nulle le long

de la courbe entre les points A et B, quelle que soit la fonction arbitraire 9 (s).

Il faut et il suffit pour cela qu'on ait en tous points

ou bien

rr = constante.

On remarquera que le rayon de courbure mC, et la Tiormaie mR, sont les rayons de courbure des sections principales de la surface engendrée par la révolution de la courbe cherchée autour de Taxe OX; ces rayons de courbure devant d'ailleurs êlre pris avec des signes contraires dans la situation de la ligure, puisqu'ils sont dirigés en sens opposés, on

1 i peut regarder ^ comme la somme algébrique des courbures

principales, et expriiner la propriélé de la surface en disant que sa courbure moyenne est constante.