DE MINIMUM

La chaînette est un cas particulier de celle espèce de courbe ;

elle correspond à p=N, et à — n ^^ ^•

On sait que la chaînette peut être engendrée par le foyer d'une parabole qui roule sur une droite fixe (I, § 148)'. Les courbes comprises dans Téquation

«= constante peuvent être décrites de même par le foyer d'une section conique roulant sur la droite OX *. Eh effet, l'équation différentielle de la courbe qui en roulant sur la droite OX engendre la ligne AB est, entre les coordonnées polaires N et 0,

Fig.321.

/"(N) étant la valeur delà tangente de Tangle R = CRO, exprimée en fonction de la longueur N=mR (1, § 146). Déterminons d'abord cette fonction. Du point R, abaissons RR' perpendiculaire sur CS; la distance R'S sera égale à rfN. On aura dans le triangle RR'S,

cm = RR'xtangR'RS = jjjjp^.

Mais les triangles semblables Cmn, CRR', donnent

RR' = mn X ^ = - X jp.+ N) = da X (/5 + N),

doL étant l'angle mCn. Cet angle, pris négativement, est la différence CSO — CRO, ou la variation de l'angle R ; nous aurons donc entre R et N l'équation différentielle

dN = — rfR(/9 + W)x

OU bien

tangR'

(in

tangU N + /5

* Ce théorème a été découvert par M. Delaunay.

Or on a entre N et p la relation i i 1

a étant une constante; ce qui permet d'éliminer p. Il vient alors

ou bien, en décomposant la seconde fraction en fractions simples,

d^ , (N-t.«) ,^ dR d^ tm

tangR "^ N«-|- 2flN ~ tangR ^ '2N ^ 2 (N + 2a) "~ "'

D'où l'on tire en intégrant

ou bien

On en déduit

par conséquent

log sin R + 5 log N + slog (N + 2a) = constante

sinR =

tang R = .