DE MINIMUM; A . . AB

^C' et 7 t7î=«- Les constantes étant ainsi déter-

minées, on aura entre N et 0 la relation

qui définit une section conique rapportée à son foyer.

ÉQUILIBRE d'un FIL APPLIQUÉ SUR UNE SURFACE.

. 358. Supposons qu'un fil sans pesanteur soit appliqué sur une surface qui n'exerce sur lui aucun frottement. Les seules forces qui agiront sur une portion quelconque de fil seront les tensions en ses deux extrémités et les réactions normales de la surface. Prenons sur le fil un arc infiniment petit AB; cet arc pourra être confondu, sans erreur appréciable, avec un arc de cercle ayant pour centre G le centre de courbure de la courbe dans l'intervalle des points A et B. Les réactions de la surface sur Téléraent AB se composent en une force unique IN, normale à la surface, et par suite normale à la courbe, qui fait équilibre aux tensions T et T'. Les trois forces T, T' et N sont ainsi dans un même plan ; la normale IN à la surface est située ^*^* ^

dans le plan des deux tangentes infiniment voisitie$ AT et BT', ou dans le plan osculateur -, c'est donc la normale prindpale de la courbe, et elle passe par le centre de courbure C. En d'autres t-ermes, la normale à la surface coincide avec la normale principale à la courbe.

Projetons les trois forces N, T et T' sur la tangente à la courbe au point I. Les forces T et T' faisant des angles infiniment petits avec cette tangente se projettent en vraie grandeur, tandis que la force N, normale à l'axe de projection, a une composante nulle. Donc T==: T'; et par conséquent la tension est la ^me en tous les points du fil.

Le théorème du travail virtuel conduit au même résultat. Prenons une portion finie quelconque de fil ; elle est en équilibre sous l'action des deux tensions extrêmes, T et T', et de toutes les réactions de la surface, qui sont normales ; cela posé, imprimons au fil un déplacement longitudinal, e, commun à tous ses points ^t infiniment petit. La somme des travaux des tensions T et T' sera égale à T e — T' e, ou à (T — T') s, et cette somme doit être égale à zéro, car les travaux des réactions sont nuls; donc enfin T=T'.

Cherchons la réaction de la surface.

Soit dtù Tangle de contingence ACB, égal au rapport, — ,

P de l'arc AB au rayon de courbure CA. La projection des trois forces N, T, T', dont les deux dernières sont égales, sur la direction de la force N, donne la valeur de la réaction. Nous avons obtenu, dans un cas tout semblable (§ 331), l'équation suivante

ou bien

-r- est la réaction de la surface rapportée à l'unité de longueur du fil ; on voit qu'elle est égale à la tension T divisée par le rayon de courbure p de la ligne dessinée par le fil ; mais T est partout le même; donc la réaction de la surface rapportée à Vunité de longueur est inversement proportionnelle au rayon de courbure.

339. La ligne d'équilibre d'un fil appliqué sur une surface jouit d^ cette propriété, qu'elle a entre deux quelconques de ses points la plus petite longueur possible. Car le fil, d'abord placé de manière à passer par deux points donnés, sera amené par la tension à occuper la position où il ne peut plus subir de raccourcissement. Cela résulte aussi de ce que la tension est constante tout le long du fil. Si l'on en fixe deux points A et B, l'intégrale fUds sera minimum pour la courbe que dessine le fil entre ces deux points; le facteur T

APPLIiQUÉ SUR UNE SURFACE. 541

élant conslanl peut sortir du signe /, et, par conséquent, Tare fds est minimum pour la courbe d'équilibre entre les deux points A et B.

On appelle lignes géodésiques les^ lignes qui, sur une surface donnée, ont la longueur minimum. Elles ont ce caractère géométrique que leur plan osculateur en un point quelconque est normal à la surface*. Par exemple, les lignes géodésiques de la sphère sont des arcs de grand cercle ; sur le cylindre droit à base circulaire, ce sont des arcs d'hélice, et comme cas particulier, les cercles de section droite ou les génératrices reclilignes. Sur le plan, les lignes géodésiques sont des droites ; pour toute autre ligne, le plan osculateur coïnciderait avec la surface au lieu de lui être perpendiculaire.

Lorsqu'on applique sans déchirure ni duplicature une surface sur une autre, des lignes quelconques tracées sur la première conservent leurs longueurs sur. la seconde, et les angles sous lesquels elles se coupaient restent aussi les mômes après la déformation. Les lignes géodésiques de la première surface se transforment donc en des lignes géodésiques sur la seconde. Les lignes géodésiques d'une surface développable deviennent des lignes droites quand on applique la surface sur.un plan.

On voit par là que la sphère n'est pas développable. Car un triangle sphérique formé par trois arcs de grand cercle, ou par trois lignes géodésiques, se transformerait sur le plan en un triangle rectiligne, et les angles des deux triangles seraient respectivement égaux, ce qui est impossible, puisque la somme des angles du triangle rectiligne est égale à deux droits, tandis que la somme des angles du triangle sphérique

* • Clairaut a remarqué le premier, dans les Mémoires de V Académie des « sciences de 1735, que, quelle que soit la figure de la terre, la ligne qu'on y « tracerait en plantant continuellement des piquets perpendiculaires à l'horizon, « de manière qu'ils soient effaclSs les uns par les autres, comme on l'a pratiqué « dans la description de la perpendiculaire à la méridienne de Paris, aurait la « propriété d'être la ligne la plus courte entre tous ses points. » (Lagrange. Calcul des fonctions, leçon XXII.) En effet, les plans osculateurs de la ligne sont en tous points verticaux, c'est-à-dire normaux à la surface de la terre. L'expression de ligne qéodésique est venue de cette construction.