LIGNES

surpasse deux droits de la quantité appelée excès sphérique, proportionnelle à l'aire du triangle.

340. Cherchons les équations différentielles des lignes géodésiques d'une surface donnée

Nous nous servirons pour cela de la condition de minimum de l'arc

Sfds = 0, OU

fids = 0.

Mais

Substituant, et intégrant par parties, pour séparer les carac^ téristiques d et 8, il vient

Le terme hors du signe / est nul aux limites, puisqu'on suppose fixes les extrémités de Tare de courbe considéré. Quant à la fonction sous le signe /, elle renferme les trois variations &r, Sy et ^%; mais ces trois variations ne sont pas indépendantes les unes des autres, car les déplacements imprimés aux points de la courbe s'effectuant sur la surface F = 0, les variations satisfont à Téquation différentielle

On peut donc exprimer i% en fonction de ix et de §j/. Substi^^ tuant sa valeur dans la fonction sous le signe /, il vient en définitive

GËODÉSIQUES. 545

L'intégrale doit se réduire identiquement à zéro, quelles que soient les variations indépendantes ix et §t/. Il faut et il suffit pour cela qu'on ait tout le long de la courbe les deux équations

dF '

^dx

dx ^dz ^

"rf«

rfF ds '

dz

dF

ds

■Pi=<>-

dz

ités

"rfs

ds ds

dF

dF dF

dx •

dy dz

OU bien la série d'égalités

Telles sont les équations différentielles des lignes géodésiques delà surface F=0. Elles expriment que la direction qui fait avecles axes des angles définis par les cosinus

.dx d j-

ds

jdx

c*est-à-dire la direction de la normale principale à la courbe, coïncide avec la direction définie par les cosinus

dF dF

dx ' • ' dy

V(f!)'H-(S)*-(£)- VCÎTMÎT^W

dF dz

514 LIGNES GÉODËSIQUES.

c'est-à-dire avec la direction de la normale à la surface : théorème que la statique nous avait immédiatement donné.