THÉORÈME DE LANCRET

341 . Étant donnée dans Vespace une courbe quelconque, L, on peut faire passer par cette courbé une surface développable dont cette courbe soit une ligne géodésique.

En effet, menons par les tangenles à la courbe en des points très-rapprochés, A, B, C, des plafls normaux aux normales principales, ou, ce qui revient au même, y-^ normaux aux plans osculaleurs. Ces plans v^c se couperont deux à deux suivant des

droites, et à la limite, lorsque les points Fi 323 ^' ^' ^ ^^ seront indéfiniment rappro-

chés, la surface S qui contient ces droites sera Penveloppe des positions du plan mobile ; ce sera donc une surface développable. Ses plans tangents successifs sont normaux aux plans osculaleurs de la ligne L ; donc cette ligne esf une ligne géodésique de la surface S.

Si l'on développe la surface S sur un plan, la courbe L se transformera en ligne droite sans altération de longueur. La . surface S est la surface rectifiante de la courbe donnée.