THÉORÈME SUR LES ARCS DELLIPSE

342. Lemme. — Si d'un point extérieur M, on mène deux tangentes MP, MP à une ellipse, les angles PMF, P'MF que font les tangentes avec les droites menées du point M aux foyers F et F sont égaux.

Pour construire latangenleMP, il suffit de décrire un cercle du point F' comme centre avec un f 'ff- 324. rayon égal au grand axe , puis

de chercher l'intersection A de ce cercle avec un arc décrit

THÉORÈMES DE M. GHASLES. 545

du point M comme centre avec MP pour rayon. La tangente cherchée est la droite MP, perpendiculaire à FA. Joignant F'À, on aura le point de contact P en cherchant l'intersection de la droite F'A avec la tangente MP.

La seconde tangente MP' s'obtiendrait en faisant usage de la seconde intersection des mêmes arcs de cercle. Mais on peut aussi la construire en décrivant de F comme centre, avec le grand axe pour rayon, un cercle que Ton coupera par un arc décrit de M comme centre avec un rayon égal à MF' ; Tintersection donnera le point A', et la tangente cherchée sera la perpendiculaire abaissée du point M sur la droite A'F^

Lès tangentes MP, MP' sont les bissectrices des angles FM A, F'MA'. Pour prouver Tégalitè des angles PMF, P'MF', il suffit donc de prouver Tégalité des angles doubles AMF, A'MF', ou, en ajoutant de part et d'autre l'angle FMF', l'égalité des angles AMF', A'MF.

Or. ces delix angles appartiennent à deux triangles ÀMF', FMA', qui ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun, savoir : AM=MF,AF' = A'F=le grand axe, MF' = MA'; ils sont donc égaux, et le lemme est démontré.

Corollaire. — Si Ton considère Tellipse ayant pour foyers les points F et F' et passant par le point M, la tangente à cette ellipse au point M, faisant des angles égaux avec les rayons vecteurs MF, MF', fait aussi des angles égaux avec les tangentes MP, MP'» menées du point M à l'ellipse homo focale PP'.

343. Théorèmes de M. Chasles^. — Soit AB une ellipse, F et F' ses foyers (fig. 324). Imaginons un fil continu, inextensible et de longueur donnée, qui fasse le tour de l'ellipse, en s'appuyant sur la courbe, sauf dans la région PMP', où il dessine deux tangentes PM, P'M aboutissant en un point M. On

« Comptes rendus de V Académie des Scieticès, 1843.

n. — MÉC. COLUONOK. S5

demande le lieu décrit par un crayon qui serait placé au point M de manière à tendre toujours le fil.

Cherchons la tangente en M au lieu demandé. Prenons sur la courbe cherchée un point M^ infiniment voisin du point M, et soit MM^=ds. La longueur totale du fil ne change pas quand le crayon passe de M en M^ ; soit 6 l'angle que MP fait avec la direction de l'élément MM^ , et 0' l'angle que MP' fait avec le même élément pris dans l'autre sens. Dans le passage de M en Mj, le brin P^PM se raccourcit d'4ine quantité égale à la projection de MMj sur la direction de PM, ou de d^cosO; le brin P'M s'allonge en même temps de la projection du même arc sur la direction de P'M, c'est-à-dire de dscosO'. La longueur du fil restant' constante, on a

ds cas Bz=d8 cos d' ;

donc 0=0', et la tangente au lieu cherché fait des angles égaux avec les tangentes MP, MP' à l'ellipse AB.

Il résulte du lemme précédent que le lieu RS décrit par lepoint M est une ellipse homofocale à l'ellipse donnée; par sijite, étant données detix ellipses homofocalesj si d'un point M de Vellipse extérieure on mène les deux tangentes MP, MP' à r ellipse intérieure, la somme des tangentes et de Parc embrassé entre les points de contact,

MP + MP' + arcPACBP',

est constante.

On peut ainsi décrire l'ellipse en tendant avec un crayon un fil de longueur constante qui entoure une portion du périmètre d'une ellipse déjà tracée ; cette méthode est une généralisation de la méthode ordinaire dans laquelle on fait usage des foyers. La droite finiePF', pour tous les points, N, de laquelle la somme des distances NF-hNF' est constante et égale à FF'i peut en effet être assimilée à une ellipse infiniment aplatie, qui aurait les points F et F' pour foyers* . La somme MP h- MF -h PCP' étant constante, si l'on en retranche le périmètre entier de Tèllipse, le reste, égal à MP-hMP' — PDF, est aussi constant, et c'est sous cette forme