DE M, CHASLES

que M. Chasles a présenté son théorème. On en déduit un moyen géométrique de trouver d une infinité de manières, sur une ellipse (donnée, deux arcs dont la différence soi rectifiable.

Supposons en second lieu que le fil qui entoure Tellipse puisse être allongé à volonté, et cherchons le lieu des points M tels, qu'en passant d'un point M à un autre point M', les deux brins qui aboutissent à ce point soient allongésde quantités égales. y

Supposons les points M et M' in- ^^

uniment rapprochés : la quantité p^^^^-^^^^

dont s'allonge le brin MP, quand, /^'^^ ^ ^"^ sans cesser d'être tendu et sans / /

glisser sur Tellipse, il va abou- \ *^ \ f

tir en M' suivant le tracé P^M', est ^-^.______^C

égale à la projection de MM' sur \

la direction de MT^. De môme le \

brin MP' s'est allongé d'une quan- *^

tité égale à la projection de MM' ^'

sur M'P/. L'égalité des allongements implique donc Tégalité des angles P^M'M, P/M'M, et par suite la direction de Tèlé- .ment MM' est bissectrice de l'angle des deux brins.

Les directions MP, MP' font, diaprés le lemme, des angids égaux avec une ellipse homofocale à l'ellipse donnée, passant par le point M. Donc MM' est normal à cette ellipse, et le lieu cherché est une trajectoire orthogonale des ellipses qui ont .F et F' pour foyers; c'est. par suite une hyperbole HK, homofocale à l'ellipse donnée, et la coupant elle-même à angle droit au point I.

La longueur MP d'une tangente à l'ellipse, comprise entre le point de contact P et l'hyperbole, surpasse l'arc PI, mesuré sur la courbe, de Tintégrale /f/scosf, prise sur l'.hyperbole entre le point I et le point M; ds représente l'arc élémentaire mm' d'hyperbole, et 9 l'angle que sa direction fait avec la tangente wp menée à l'ellipse à partir du point m.

Cette intégrale est la même des deux côtés de l'hy-