SUR UNE SURFACE
que la force extérieure R fait avec la courbe funiculaire AB,
TU
est donc égal à ç + ^. ,
Cela posé, appliquons à Tare AB Téquation que nous avons donnée (§525), .
dï d(a
T tang/m
OÙ Test la tension, cliù l'angle de contingence, et pi l'angle de la force extérieure avec la courbe, prise dans la direction suivant laquelfe on compte les arcs positifs. Nous aurons
tang/* = tang ( ^-f- ,> j = — cotangy
et par suite
dT dùi
T cotang f
= dw X tang 9 = fda»
Intégrons celte équation d'un bout à Tautre de la portion de fil MP appliquée sur la surface ; il viendra
log.^ = /ÎQ, •
Tj et T(j étant les tensions aur points P et M, où le fil se détache de la surface, et û la somme des angles de contingence de la ligne MP.
On aura donc
Si la courbe MP est plane, si c'est, par exemple, la section
droite d'un cylindre, ou l'arc de grand cercle d'une sphère,
l'angle û sera Tangle des tangentes extrêmes. Supposons que
la courbe MP soit un arc de cercle de rayon r et que S soit la
S longueur de fil appliquée ; on aura Q = - .
On voit que le rapport ~ croît très-rapidement avec la va-
leur de û, ou, dans le cas particulier qui nous occupe, avec la valeur de S.
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550 FROnEiENT D'UN FIL
345. Celle proposition étant très-importante, nous en donnerons une démonstration élémentaire, en la restreignant au cas où la. surface est uq cylindre, et où le fil glisse suivant sa section droite.
Soit MN un fil tendu à la surface d'un cylindre droit à base circulaire, le long d'un arc infiniment petit AB de la section droite de ce cylindre. Supposons que le fil glisse, ou
soit siir le point de glisser dans le sens de la flèche; la tension f', qui agît au point B dans le sens du mouvement, surpassera la tension f , qui agit en sens contraire au point A, de tout le frottement développé au contact du fil et du cylindre. Ce frottement est infiniment petit. Pour le calculer, transportons les forces t et t' au point I, point de concours des deux tangentes BN, AM| ces deux forces sont égales à un infiniment petit près, elles se composent donc. en une force unique IP, qui est dirigée suivant là bissectrice de leur angle, et qui va passer au point 0, centre.de l'arc AB. La résultante IP est la pression totale exercée par la corde sur le cylindre, et le frottement mutuel des deux systèmes en contact est, au moment du glissement, égal au produit IPxf, dans lequel le facteur f est le coefficient du frottement de la corde sur le cylindre.
Le triangle IPR a ses côtés respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle ÀOB ; ces deux triangles sont semblables, et donnent la proportion
