THÉORIE DES COUPLES

55. On a vu (g 40) qu'un couple est le système formé F par deux forces (F, —F) égales, parallèles et dirigées en sens contraires, appliquées en deux points liés invariablement Tun à l'autre ; et que le bras de levier du couple est la dislance de ^*^- ^^- ces deux forces» Un tel système ne

peut être réduit à une force unique*.

Prenons les moments des forces F et — F par rapport à un point quelconque, 0, du plan des deux forces.

Le moment de la force AF sera égal au produit Fx OA, et

* La notion du couple, considéré comme un élément irréductible de la mécanique, a été introduite vers iSOO par Poinsot; elle a transformé la statique et la dynamique, et reste Tune des créations les plus fécondes du profond géomètre à qui elle est due. Une réaction peu réfléchie s'est cependant produite, il y a quelques années, contre celte notion à la fois si élégante et si simple, et peu s'en est fallu que le couple ne disparût de l'enseignement. La grande objection de^ ennemis des méthodes de Poinsot, de ceux, par exemple, qui regardent sa statique comme un totir de force, c'est que les élèves ne peuvent pas comprendre sur-le champ Veffet d'un couple sur un corps solide. Or les commençants ne se font pas une idée plus juste de l'effet d'une force unique sur un corps solide, de sorleque l'objeclion. si elle avait quelque valeur, conduirait à nier la légitimité

le moment de la force —F, égal à — Fx OB ; la somme algébrique des moments est donc égale à

FxOA — FxOB = Fx:OA — 0B)=— FxAB,

c'est-à-dire que la somme algébrique des moments d'un couple par rapport à un point du plan de ce couple^ ou par rapport à tout axe normal à ce plan, est constante^ et égale en valeur absolue au produit de la valeur commune des deux forces par le bras de levier.

Ce produit prend le nom de moment du couple. Lorsque plusieurs couples sont situés dans un même plan, on leur donne les signes + ou — , en suivant la convention relative aux signes des moments des forces; il est facile de reconnaître qu'appliquée aux couples, celte convention revient à regarder comme positifs les moments des couples qui fendent à faire tourner leur bras de levier de gauche à droite, et comme négatifs, ceux qui tendent à faire tourner leur bras de levier de droite à gauche. Il est bien entendu que celte tendance du couple à faire tourner son bras de levier n'est qu'une image tout à fait fictive, et qu'elle ne ^<^ .

préjuge en rien la solulian du problème de ^/ |

dynamique qui consisterait à déterminer le /^ ^*' mouvement d'un système solide sollicité par /

cet ensemble de forces. 1/^

Le moment d un couple FxAB peut être ^ représenté par Taire d'un parallélogramme ayant F pour base et AB pour hauteur, c'est-à-dire par Taire du parallélogramme AFA't' qui aurait pour bases opposées les deux forces F et F'.

de l'élude de la statique tout entière. U n'y a rien d'étonnant, au contraire,à œ qu'une notion commence par être incomplète, el gagne en précision dans l'esprit de l'élève à mesure qu'il pousse ses études plus loin. Pour no'.is, nous avons voulu maintenir dans ce traité la théorie même de Poinsot. La comparaison de la statique avec la cinématique, dans laquelle le couple s'assit ^ile à la translation et la force à la rotation, nous parait suffire pour faire saisir le véritable caractère de celte théorie, tout en ajournant à la dynamique la <ineslion des effets de mouvement des forces ; l'usage des couples en simplifiera du resle singulièrement l'analyse.

54. On peut transporter un couple partout oU Von voudra, dans son plan, ou dans vn plan parallèle y et r orienter comme on voudra dans ces plans, enfin on peut substituer à un couple un autre couple de même moment, sans troubler l équilibre,

La démonstration exige que l'on considère silkcessivement chacune de ces altérations.

V On peut, sans troubler l'équilibre, faire tourner le couple d'un angle quelconque dans son plan autour du milieu I de son bras de levier.

Soit (F, F') le couple dans sa position primitive; AB son bras de levier; soit (F^, F'^) le couple dans sa seconde posi- ^^ tion, et A^B^ son bras de levier. Il suf-

F fira de démontrer quele couple (Fj,F',),

Pn^s obtenu en changeant le sens des forces F, A /' H^J . du couple (Fp F\), fait équilibre au

couple (F, F') ; car s'il en est ainsi, on , A>v pourra appliquer au système les quatre

*^' > forces F^, F,, F\, V\ qui se font équi-

* libre deux 5 deux, puis supprimer les

^^ forces F,, F, F',, F' qui se font équi-

libre, et il restera le couple (F^, ¥\).

Or les forces F', et F' se coupent en un point L, où l'on peut les supposer appliquées ; elles se composent en ce point en une seule force LS, dirigée suivant la bissectrice de leur angle; la résultante LS passe donc par le point I. De même, les forces F et F, se composent en une seule KB, dirigée aussi suivant la bissecirice de leur angle, et passant par le point I. Enfin les forces LS et KR sont égales et de sens opposés. Et comme elles peuvent êlre supposées appliquées au môme point I, elles se font équilibre.

Le système (F^, ¥\) est donc équivalent au système (F, F).

2° On peut, sans troubler l'équilibre, déplacer un couple parallèlement à lui-môme, dans son plan ou dans des plans parallèles.

Soit F, F' le couple donné; AB, son bras de levier. Trans-.

AF. \ af;

tF'

. portons le bras de levier parallèlement à lui-même en une position quelconque A^B^, et en chacun des points A^, Bj, appliquons deux forces coniraires, F^ F,, et F',, F',, égales et parallèles aux forces F et F'. Il suffira encore de prouver que le couple (F,, F',) fait î * équilibre au couple (F, F'), pour établir que les couples (F,F')et(l\, V\) sont équivalents.

Or joignons AA^ BB^ ; la figure AA^B^B, dans laquelle AB est égal et parallèle à A^Bj, est un parallélogramme, dont les diagonales AB^ A^B se coupent au point 0 ja

en deux parties égales. Les forces F et F',^ pj,, ^^

égales, parallèles et de même sens, se composent en une force unique OR, appliquée au point 0, parallèle aux forces données, et égale à leur somme 2F. De même, les forces F^ et F', égales, parallèles et de môme sens, ont pour résultante une force OR', appliquée aussi au point 0, dirigée en sens contraire de OR, et égale à 2F. Les deux forces R et R', appliquées au même point, sont égales et contraires, et se font équilibre. Il reste donc le couple (^11 ^\)i c'est-à-dire le couple donné, transporté parallèlement à lui-même.

5"* En combinant le transport parallèle du couple et la rotation dans son plan autour du milieu de son bras de levier, on amènera le couple à occuper te le position qu'on voudra, dans un plan parallèle à son plan primitif. Il reste à prouver que Ton peut modifier arbitrairement la force potirvu qu'on altère en conséquence le bras de levier; et que deux couples de même moment, qui agissent dans des plans parallèles, sont équivalents au point de vue de Téquilibre. Puisqu'on peut les déplacer, on peut supposer (ont de suile qu'ils sont situés dans le même plan, et que leurs bras de levier appartiennent à une seule et même droile.

Soit AB le bras de levier du premier couple, et A^B^ le bras de levier du second; F, F' les forces égales du premier, et