Nous avons posé (§ 48) les équations générales

Reprenons Thypothèse faite dans le § 49, 2:F = 0. Dans ce cas, la résultante de translation des forces F est nulle, quelle que soit la direction commune qu'on leur attribue. Toutes ces forces se réduisent donc à un couple, ou bien se font équilibre.

1° Supposons d'abord qu'elles se réduisent à un couple unique. Soient L, M, N les composantes de ce couple projeté sur les trois plans coordonnés. Appelons a, p, y les angles que la direction des forces F fait avec les axes* Les produits

Fcosa, Fcos p, F cos Y seront les composanles de la force F, et les moments s'obtiendront au moyen des formules

L = 2 (F cos y X y — F cosp X a) = COSy 2Fi/ — COS^ ïF»,

de même

M = cos a iFz — COS y iFx, N = cos p iFx — cos a iFy;

les cosinus sortent des signes S, parce qu'ils sont facteurs communs à tous les termes compris sous ces signes.

Ces formules donnent les valeurs de L, M, N, et font connaître le couple résultant.

On voit que le couple résultant est nul si Ton a à la fois tPx=0, tPy = 0, 2F;5 = 0; alors Téquilibre des forces est assuré.

Si deux de ces sommes sont nulles, par exemple les deux premières, on en déduit N=0. Le couple résultant, ayant un moment nul par rapport à l'axe OZ, est silué dans un plan parallèle à cet axe.

Enfin, si une seule des sommes, lYx, est nulle, les expressions de L, M, N se simplifient ; mais, eii général, aucune ne se réduit à zéro.

2*" Nous venons d'observer que les forces F se font équilibre siTon a2Fir=SFî/ = 2:F;5 = 0, avec 2F = 0. Mais l'équilibre est également assuré si l'on a à la fois

cos y SFy — cos p l?z = 0, cos<y lYz — cos y 2Fa;= 0, cos ^ iFx — cos a 2Fy = 0,

ou bien

iFx iFy iFz

cos or "~ cos /î ~ cos y '

double équation qui définit la direction commune (a, p, y) à attribuer aux forces F pour qu'elles se fassent équilibre. On en déduit en effet

iFx

COSa =