COS

\J[l¥x]*-i-[lFy)*'^(lFz)*'

'v/(2Fa:)«4-(SFy)»-f (2F2)«'

SFa;

COS y = j — -

V^i2bi:)«4-{2Fy)«-f(2FV)*

i02 THÉORÈME

Dans ce cas particulier, les coordonnées du centre des forces parallèles sont infinies, mais le couple résultant est nul, dès que les forces F reçoivent la direction particulière définie par les angles a, P et y-

THÉOHÈBIES DE M. CHASLES ET DE M. MÔBIUS.

75. De quelque manière qu'on réduise à deux toutes les forces d'un système^ le tétraèdre construit sur les droites qui représentent ces deux forces a un volume constant^.

Soient A et Blés points d'application, AP^ BQ les directions et les grandeurs des deux forces P et Q auxquelles on a réduit le système donné. Menons les droites AB, PB, AQ, PQ, qui

achèvent le tétraèdre APBQ. Nous p.ouvons considérer ce tétraèdre comme ayant pour base le triangle PAB, et pour hauteur la distance du point Q au plan de la base. Par le point B, menons BP', parallèle à AP ; cette droite sera contenue dans le plan du triangle PAB . Soient © l'angle P'BQ des directions des deux forces, 6 l'angle PAB, et ^ l'angle que fait le plan P'BO avec le plan PABP'. Soit AB = a la distance des points d'application des deux forces. La surface du triangle PAB a pour mesure | Px a sin 6. Du point Q, abaissons QQ' perpendiculaire sur le plan des parallèles AP, BP', puis QP' perpendiculaire sur BP'. La droite Q'P' est aussi perpendiculaire à BP', et l'angle QP'Q' est l'angle ^ des deux plans qui se coupent suivant BP'. La perpendiculaire QP' est égale à Q sin<p; donc la distance QQ'=Q sin ç sin ^};.

Le volume du tétraèdre considéré est égal au produit 11 1

y = ^?asinO X5Qsinysini/;= gPQasinOsinipsiny.

Or a sin 6 est la distance des parallèles AP, BP' ; a sin ô sin ^

* Annales de mathématiques de Gergonne, 1827. -^ Statique de MÔbids, 1837. — Journal de mathématiques pures et appliquées, 1847.

DE H. GHÂSLES.

est la disteiîlce du poîftt A au plan P'BQ, c'ést-à-dire ia plus courte distance des farces P et Q ; désignant par h cette plus courte distance, on aura

Le volume du tétraèdre construit sur les deux forces est le produit des deux forces par leur plus courte distance et par le sinus de V angle formé par leurs directions. Le volume du tétraèdre ne change pas, par conséquent, lorsqu'on transporte les forces P et Q en des points quelconques le long de leurs directions.

Observons que Q sin 9, ou QP', est la projection de la force Q sur un plan normal à AP ; ft est la distance de celte projection à la mêfme droite. Le produit Qfc sin ç est donc le moment de la force Q par rapport à la direction de la force P, et nous pouvons poser

On aurait de même

V = gPxM^(Q).

Y = ^PxMq(P).

Ces relations peuvent' servir à attribuer un signe au volume V.

Pour démontrer le théorème, nous interpréterons d'une autre manière le produit PQhsinç.

Transportons les forces P et Q aux points où leurs directions sont rencontrées'par leur normale commune.

Prenons la direction de la force P pour axe des 2, la perpendiculaire commune pour axe des x^ et menons Taxe des y perpendiculairement aux deux premiers. Soit OB = fe la distance des deux forces, et QBP' = ç Tangle de leurs directions.

Les composantes de la force P sont, suivant

Taxe clés x, l'axe des y, et l'axe des s, OOP

Fig. 66.

loi THÉORÈME

Les composantes de Q suivant les mêmes axes sont

0 Qsiny Qcosy.

Désignons par X', Y', Z' les composantes de la résultante de t ranslalion, et par L', M', N' les composantes du couple résultant. On obtiendra pour ces quantités :

ï' = Qsiny,

Z' = P4-Qcosy,

M'= — QcosçX/ii

N'=4-QsinyX A.

On en déduit

L'X'+M'Y'4-K'Z'= PQAsiny. .

La fonction LT+ MT -4- N'Z'=PQ/i sin^estdonc égaleà six fois le volume du tétraèdre construit sur les deux forces P et Q.

D'un aulre côté, soit il la résultante des forces X', Y', Z', H le couple résultant. La fonction LT H- M'Y' -+- N'Z', divisée, par le produit RH, est le cosinus dé l'angle a de R avec H ; et par suile

L'X' -f- M'Y' + K'Z' = RH cos a.

Or Hcosa est la projection, Kl, du couple résultant KII sur la résultante de translation KR ; c'est donc la valeur du couple minimum H' (g 63) ; de sorte qu'en définitive le produit VQh sin 9 est égal au produit de la résultante de translation R par ce couple H'. Le système des forces données n'est réductible que d'une seule manière à la force R et au couple minimum H'; mais il est rôdu tiblc d'une infinité de manières à deux forces conjuguées P et Q (§ 01) ; quelle que soit la décomposition adoptée, on aura

PQ/tsinî) = RH',

et par conséquent le volume Y du tétraèdre construit sur les deux forces P et Q est constant.

DE MM. CHASLBS ET MÔBIUS. 105

Ce volume. est nul daus deux cas : quand R = 0, et quand H' =0, c'est-à-dire quand le système proposé est réductible à une force unique ou à un couple unique (g§ 67 et 68).

Le théorème de M. Môbius se déduit de la double équation

L'X'+M'Y'-*- N'Z' = PQAsiny = RH'.

Chacun des facteurs L', X\... est une somme de composantes ou de couples composants, dans laquelle figurent les n forces du système donné. Soient, par exemple, X^, \\, \ les composantes, et L^, M^, Nj les moments par rapport aux axes, d une force Fj ; X„ Y„ Z,, L„ M„ N„ les quantités analogues pour une autre force F,, et ainsi de suite jusqu'à la force F„; le premier membre deviendra

(L,-fL,-^...)(x,+x,+...)^-lM,-^-M,.f-...)(¥,^-y,-h...)

+lNi-hN,4-...)(Zi + Zi + ...).

En effectuant les opérations, on trouvera des termes

L,Xi4-M,Yi4-NiZ„ L,X,-fM,Y, + N,Z„

OÙ les indices sont les mêmes : ces termes ainsi réunis trois à trois sont séparément nuls; en effet, le couple (L^, M^ N^) provient du transport au point 0, parallèlement à elle-même, delà force (X^, \\, ZJ ; Tangle de la force avec l'axe du couple est droit, et par suite LjX^ -h M J^ -h- N^Z^ est égal à zéro. Les seuls termes qui subsistent dans la somme indiquée sont donc ceux où les deux facteurs n'ont pas le même indice, savoir :

LiXt+LiXs+LiX4+ . . . -fM J,+M,Y5-f . . . +NA4. . . . 4-l8X,4-ï«X5-fL,X4+...-hM,Y, + M,Y3-h...-+-N,Z,-*-... + L3Xj-fL3X,-hL5X4+...-fM3Yi-fM5Y,4-. .^-N5Z^^-...

Sous cette forme, on reconnaît que la fonction L'X'-hM'Y'-i-N'Z' peut se former par voie d'addition algébrique, on combinant deux à deux de toutes les manières possibles toules les forces données. Considérons en particulier la combinaison des forces F<, F^, à laquelle correspondent les six termes

(L,X^+ M,Y^. + N,Zj.) 4- (L;X^ -h M^.Y, -h WiZ,).

lOa THÉORÈME. DE M. HÔBIUS. .

Si le systèmç proposé ne contenait que les deux forces F< et F^, celte sommé serait égale en valeur absolue au produit

c'est-à-dire au sextuple du tétraèdre construit sur les deux forces. Elle a d'ailleurs un signe algébrique qu'on peut fixer au moyen de la relation

on attribuera au produit le signe du moment d'une des forces par rapport à un axe qui coïnciderait en direction et en sens avec l*aulre force. Soit V^ le volume du tétraèdre construit sur les deux forces d'indices i et j, pris avec le signe ainsi défini. La somme algébrique de toutes les valeurs de Vy correspondante aux diverses combinaisons admissibles sera égale au sixième de la somme L'X' -h M'Y' 4- N'Z' prise pour l'ensemble du système donné, et l'on pourra poser l'équation

i=n i—n L'X'-fM'Y'4-N'Z'=RH'=6 2[ ^ V

Le volume V<j étant nul toutes les fois que i = j, c'est-à-dire pour toutes les combinaisons à exclure, il n'y a pas d'inconvénient à attribuer à chaque indice toutes les valeurs entières de 1 à n.

La double somme indiquée est nulle si R = 0 ou si H' = 0, de sorte qu'on parvient au théorème suivant, dû à M. Môbius :

Quand un système de forces a une résultante unique^ ou peut se réduire à un couple unique, la somme algébrique des tétraèdres construits sur ces forces^ prises deux à deux de toutes les manières possibles, est égale à zéro.