SUR UNE HELICE FIXE

qui coupe en S Taxe O'O", et prenons le point S pour sommet du cône des tangentes. Les génératrices extrêmes de ce cône seront SA', SC, et il aura pour base dans le plan A'G la base même du Cylindre. Par le point S, menons une parallèle SH' a ZZ'; ce sera la trace d'un plan horizontal qui coupe le cône suivant deux génératrices, projetées toutes deux en SH' sur le plan vertical, et en OH et OH^ sur le plan de la section droite.

n reste à ramener, par un déplacement parallèle, ces deux droites (OH, SH') et (OH,, SH') à être tangentes à Thélice. Or observons que h tangente l'T au point (F, T), transportée sur le cône, y donne la génératrice, (OA, SA') ; le point I, dans le cercle de base, se trouve éloigné d'un quadrant, AI, en avant du pied A de la génératrice du cône. Pour ramener la génératrice OH à être tangente à l'hélice, il suffit de même d'élever OK perpendiculairement à OH; le point K sera la projection, sur le plan de section droite j des points de l'hélice qui ont des taur gentes parallèles à (OH, SH'). De même on aura,.en élevant OK, perpendiculaire sur OH,, la projection K, de tous les points qui ont des tangentes parallèles à (OH,, SH').

Au point K correspondent une infinité de points K', K"... en projection verticale ; au point K, correspondent d'autres points K/, K/... en nombre infini.

Les points K', K",... sont des positions d'équilibre du point mobile, ainsi que les points K/, K,".... Mais les premières positions correspondent à un équilibre stable, tandis que les secondes correspondent à un équilibre instable.

Si l'axe O'O" faisait avec ZZ' un angle 0'SH'=^ suffisamment grand, la- droite horizontale SH' pourrait passer au-dessus de la génératrice la plus haute du cône ; alors Thélice n'aurait pas de tangente horizontale, et l'équilibre du point pesant serait impossible,

Soit p l'angle O'SA' des tangentes à l'hélice avec Taxe O'O".

H n'y aura pas de solution si p<a;

Si p>a, il y aura des solutions : les unes, situées toutes sur la généralrice K'K", correspondront à un équilibre stable;

les autres, situées sur la génératrice K'K", correspondront à un équilibre instable ;

Enfin, dans le cas limite 3=^9 lo plan SH' est tangent au cône; les deux génératrices K'K" et K^K^^ se confondent en une seule et coïncident avec la génératrice moyenne IT' ; les positions cherchées sont situées aux points d'inflexion F, F..., et réquilibre est conditionnel; c'est-à dire qu'il est stable par rapport à tout déplacement qui amènerait le point mobile à droite du point T, et instable par rapport à tout déplacement qui ramènerait à gauche du même point.

En définitive, Téquilibre serait instable dans ce cas particulier. Car le point mobile amené à droite du point V retournerait d'abord, il est vrai, au point 1', mais il y arriverait avec une certaine vitesse qui lui ferait franchir celte position et l'amènerait du côté où la stabilité n'est pas assurée.

La slabihté serait complète au contraire si Ton plaçjiit en r un arrêt empêchant le point mobile de passer à gauche de ce point.

Pour traiter la môme question par le calcul, prenons pour axe des z l'axe de Thélice, et supposons que la direction de la pesanteur soit contenue dans le plan ZOX et donnée par ses deux composantes X l'ii et Z. Les équations de Thélice seront

9? = 3 — KHarclang- = 0, ^ = a:*-fy* — R« = 0. '

On aura Y = 0,

'Sx

^vP

dx'

Kz.

Hg. 77.

L'équation (4) deviendra

2X2, + 2zÇld+ii£! = 0,