CHAPITRE II

ÉQUILIflRi: d'un soude INVABTABLE LIBRE DANS l'eSPACE.

85. Nous avons vu, dans le chapitre précédent, que les forces qui agissent sur un solide peuvent être toujours rem- . placées soit par* deux forces, soit par une force et un couple. Si l'oif adopte le premier mode de réduction, il faut et il suffit pour l'équilibre que les deux forces soient égales, et qu'elles agissent en sens contraire suivant une seule et même, direction; et si l'on adopte la seconde, il faut et il suffit que la résultante de translation et le couple résultant soient nuls séparément.

Soient AF, BF', les deux forces auxquelles on ramène le système des forces données. Si elles sont égales, et si elles agissent en sens contraire l'une de l'autre, suivant la direction AB qui joint leurs points d'application, ces deux forces se font équilibre, et par suite la condition indiquée est suffisante. Elle est de plus nécessaire. Supposons en effet (fig. 79) que l'équilibre ait lieu sans que la direction de la force BF' passe par le point A. L'équilibre du solide ne sera pas troublé par l'introduction d'une nouvelle liaison, quelle qu'elle soit (§ 78). Rendons fixe le point A. Le corps solide cessera d'être entièrement libre, mais il pourra pivoter

EQUILIBRE D'UN SOLIDE LIBRE. i25

autour du point A d'une manière quelconque. Or la force F' agit par hypothèse en dehors de ce point; eHfi tend donc à entraîner le corps et à le faire tourner autour du point A ; par suite l'équilibre est impossible, à moins que la force BF' n'agisse dans la direction AB. On prouverait de même, en fixant le point B, que la force AF agit suivant la même droite. Les deux forces F et F', appliquées suivant la même direction, se composenten une seule force égale à leur somme algébrique. Le corps redevenu libre serait sollicité par cette résultante et céderait à son action ; l'éguilibre serait donc encore impossible, à moins que cette force ne soit nulle, ce qui exige que les forces F et F' soient égales et dirigées en sens contraire Tune de Tautre : les conditions indiquées sont donc à la fois suffisantes et nécessaires.

86. Supposons en second lieu qu'on ait ramené les forces données à une force et un couple. Soit R la résultante de translation, (F, — F) lé couple résultant, et AB le bras de levier du couple ; nous pouvons transporter le couple parallèlement à lui-même, de manière que le point A soit situé sur la direction de la force R, Cela posé, si l'équilibre a lieu, on ne le troublera pas en rendant fixe le point A. La force — F, perpendiculaire à AB, passe en dehors du. point fixe, et tend à entraîner le solide autour de ce point; Féquilibre n'est donc possible que si l'on a F =i 0, ce qui réduit à zéro le couple résultant. Les forces qui sollicitent le solide "" p.^^ ^ se réduisent alors à une force unique R, et le solide libre céderait à Tactiôn de cette force, et ne serait pas en équilibre, à moins qu'elle ne soit nulle aussi. On a donc R=0. Ces conditions nécessaires sont suffisantes, car si le couple est nul et que la résultante de translation le soit aussi, tout se passe comme si le corps solide n'était sollicité par aucune force, et son équilibre est assuré.

126 ÉQUAnOSS

87. Exprimons analytiqaemeDt ces diverses conditions. On donne pour chacune des n forces qui sollicitent le corps solide, les coordonnées x, f,«, de son point d'application, «t ses composantes X, Y, Z, parallèles aux axes coordonnés, que pour plus de simplicité Ton supposera rectangulaires. Nous attribuerons à ces lettres les indices 1, 2,.-. w, pour distinguer les forces données. Les trois composantes X', Y', Z' de la résultante de translation R sont données (g 65) par les équa- . tions

X' = X4-fX,+X5+...+X«, Y' = Y, 4- Y, + 1,4-... 4- T., Z'=Zi + Zt + Z3 + ...4-Z«.

Pour que la résultante R soit nulle, il faut et il suffit que X' = 0, Y'=0, Z'=0.

Le couple résultant a de même pour couples composants dans les plans coordonnés :

I' = (Zo^i - Ti»i) + i^iyt - Y A) + • - + [^y» - Y»3,) .

N'=(Yi«i — XjyO-flYja:,— Xjy,) + . .. -f(Y,x,— Xn»/»),

et pour que le couple résultant soit nul, il faut et il suffit que Ton ait à la fois

L'équilibre du corps solide s'exprime donc par six équations, qui ne sont autres que les six équations du g 65, dans lesquelles on aurait remplacé par zéro les composantes X', Y', Z', L\ W, N', de la résullanle et du couple résultant :

jX,4-Xi + Xs-^-...+1[n=:0, ' (i) Yj + Y, + Y5+...-hY«=0,

. I Zi"+-Z4-t-Z5H-...H-Z>i=0.

j (Zi^i - ïi«i) -i- [làV* - Y»«2) + . . . + [Intjn - Y„5n) = 0, (4) (X.s»-Z,(C,)+(X»*«~Z*«2)4-...-|-(X«î»-Z«r„) = 0,

D'ÉQUIMBUB. i27

OU, SOUS une forme plus abrégée,-

(2) . 2(Zy-Y*)=0, ' 2(X;!-Z«) = 0,

.Les trois équations (1) sont appelées équations des compo^ santés parallèles aux axes; les trois équations (2), équations des moments par rapport aux axes. Le premier groupe exprime que, lorsqu'un solide libre est en équilibre sous Taction de forces données, la somme algébrique des projections des forces sur trois axes rectangulaires est nulle; le second groupe exprime que la somme des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires est également nulle. Ces conditions sont nécessaires et suffisantes. Une fois qu'elles sont remplies, on est certain que la somme des projections des forces sur un axe quelconque est nulle, et qu'il en est de même de la somme des moments des forces par rapport à cet axe.

11 est facile de reconnaître que les équations d'équilibre se réduisent :

1® Aux trois équations (1) si les forces passent toutes par le point 0 ;

2** Aux trois équations (2), si les forces données prises deux par deux forment un système de couples ;

3*» A deux des équations (1) et à une des équations (2), si les forc'és sont toutes situées dans l'un des plans coordonnés ;

4"* A une des équations (i) et à deux des équations (2), si les forces sont toutes parallèles à Tun des axes coordonnés.

'ÉQUILIBRE h m SOLIDE QUI A UN P0I»T FIXE.