Soit 0 le point fixe

Nous pouvons supprimer la liaison qui rend fixe le point 0, en introduisant une force F, égale à la réaction de ce point. Le corps solide, redevenu libre, est en équilibre sous l'action des forces données et de la force F*

Par le point 0 faisons passer trois axes reclangulaires OX, OY, OZ, et exprimons que les conditions d'équilibre sont remplies à 1 égard des forces données et de la réaction F. La somme des projections de toutes ces forces sur chacun des trois axes sera nulle, et la somme des moments par rapport aux trois axes sera également nulle.

Or la force F passe par un point 0 qui appartient à chacun des trois axes, et son moment par rapport à chacun des axes est égal à 2éro; par suite les sommes des moments des forces par rapport aux trois axes doivent être nulles d'elles-mêmes.

La force F aura au contraire suivant les axes des conaposanles, que les équations des projections feront connaître.

Soient X', Y', Z' les sommes algébriques des projections des forces données sur les axes, et L', M'vN' les sommes algébriques des moments autour des mêmes axes.

Enfin appelons X", Y", V les composantes de la force F parallèles aux axes : les équations d'équilibre seront

Les trois dernières, ne renfermant que les forces données, sont les trois conditions d'équilibre. Les trois premières font connaître les composantes de la réaction du point fixe.

En résumé, '^ouv qu'un corps solide qui a un point fixe soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des moments des forces données par rapport à trois axes menés par ce point soit égale à zéro; s'il en est ainsi, la somme des moments sera nulle par rapport à tout axe mené par le même point. Cette condition revient à exprimer que les forces ont une résultante

QUI A UN POINT FIXE. fSg

unique passant par le point fixe; les sommes X', Y', Z' senties composantes suivant les axes de celte résultante, c'est-à-dire de l'effort exercé par les forces sur le point ; la réaction du point sur le corps est une force égale et- contraire, dont les composantes sont — X', —Y', — Z', ainsi que l'indiquent les trois premières équations.

ÉQUILIBRE d'un SOUDE QUI A DEIJX POINTS FIXES.

89. Soient 0 et A les deux points fixes; la fixité de ces deux points assure la fixité de la droite OA tout entière. Prenons cette droite OZ pour l'un des axes ^coordonnés ; plaçons l'origine au point '

0, l'un des points fixes, et menons deux laulres axes, OX, OY, rectangulaires et perpendiculaires au premier.

Nous pouvons supprimer la fixité des points 0 et A, en introduisant des forces convenables OF, AF', qui représenteront les réactions de ces points. p. ^ Pour définir ces forces , que nous ne connaissons pas encore, décomposons-les parallèlement aux axes : la force F aura pour composantes X^ Y^, Z^, la force F' aura pour composantes X^, Y„ Z,. Soit 0A = a, quantité donnée. Le corps est en équilibre sous l'action des-forces données, et dès deux forces inconnues F et F' ; exprimons que l'ensemble de toutes ces forces satisfait aux six équations d'équilibre. Appelons encore X', Y', Z', L', M', N' les sommes algébriques des composantes et des moments des forces données. La force F, passant par un point 0 qui appartient aux trois axes, a des moments nuls par rapport à chacun d'eux ; la force F' a un moment nul par rapport à l'axe OZ, qu'elle rencontre; mais elle a des moments différents de zéro par rapport aux axes OX et OY. Pour déterminer ces moments, nous appliquerons le théorème