GLISSANT SUR UN PLAN

dans ce cas, le nombre des points de contact doit être considéré comme infini*

Soit PP le plan fixe, et A, B, C, ... les points de contact du corps avec ce plan. Les réactions du plan sur le corps seront des forces AR, BR', CR"j ... perpendiculaires à PP. Nous prendrons le plan fixe pour plan XOY ; nous y mènerons deux axes rectangulaires OX, OY, et par le point 0 nous élèverons le troisième axe OZ, normal aux deux premiers.

Appelons a?, y les coordonnées du point A, x\ y' celles du point B, sf\ t/", celles du point C, etc. Soient toujours X', ¥', Z', L\ M', N', les composantes suivant les axes de la résultante de translation et du couple résultant des forces données qui sollicitent le corps ; nous écrirons de la manière suivante les six équations d'équilibre :

I/ + Rj/ -1- R'i/' + Ry + . . . = 0,

M'— Ra; — R'*» — RV — . . . = 0,

Les équations (1), (2) et (6) ne contenant pas les réactions inconnues R, R', R",'..., sont des conditions d'équilibre. Elles expriment que les forces données ont une résultante unique normale au plan PP; en effet, les équations X'=0, Y'=0, N"=0, satisfont à l'équation générale

L'X'+M'Y'-fN'Z'=0,

laquelle nous montre (g 67) que les forces données ont une résultante unique. Cette résultante est normale au plan XOY, puisque ses composantes X', Y', parallèles aux axes OX, OY, sont toutes deux nulles. Elle est parallèle à Taxe des Z, ce qui annule le moment N' par rapport à cet axe. La résultante se réduit par conséquent à Z'. Les équations (3), (4), (5). renferment tout ce que la statique nous apprend

au sujet des réactions R^R', R", .... Mais ici plusieurs cas sont à distinguer, suivant le nombre des points «d'appui.

1** Supposons qu'il n y ait qu'un point d'appui, A (fig. 84). Dans ce cas, les forces données doivent être équilibrées par la réaction R de cet appui. Pour cela, il faut et il suffit que la résultante des forces données, normale au plan PP en ^ 7 vertu des conditions générales expri-

'y y. mées par les équations (1), (2) et (6), passe au point A. Les équations (3), (4)

Fig. 84. gj ^gj j^Qyg j^ montrent. Elles prennent

en effet dans ce cas parjiculier la forme suivante :

Z' + R = 0, L'+Ry=T), M'— Ra: = 0.

La première détermine la valeur de la réaction R, qui est égale et contraire à la résultante V.

R élant déterminée^ les deux équations suivantes sont des équations de condition qui doivent être vérifiées d'elles-mêmes. Remplaçant R par — Z', il vient

Or L' est le moment de la résultante Z' par rapport à Taxe OX; ce moment étant égal à Z'y, la résultante perce le plan.PP à une distance de Taxe OX égale à t/; Téquation M' -4- Z'a; = 0 montre de même qu'elle perce le plan à la distance X de l'axe OY. Le point A est donc le point de passage de la résultante des forces extérieures.

Lorsqu'il y a un seul point de contact, les conditions d'équilibre sont ainsi au nombre de cinq ; elles expriment que les forces extérieures peuvent se ramener à une force unique, normale au plan, et passant parle point donné; la réaction du plan est alors complètement déterminée.

2*^ Supposons qu'il y ait deux points de contact, A et B (fig. 85).