POSÉ SUR UN PLAN

extérieures coupe la droi(e AB entre les deux points A el B. La force Tl est alors décomposable en deux forces parallèles el de même sens, appliquées en A et B, et qui seront égales et contraires aux réactions cherchées (fig. 86).

Fig. 86.

Fig. 87.

S'il y a trois points, non en ligne droite, A, B, C, la résultante des forces extérieures devra, pour l'équilibre, passer dans l'intérieur du triangle ABC. Supposons, en effet, qu'elle passe par un point I, extérieur à ce triangle (fig. 87). L'un des côtés CB du triangle, prolongé indéfiniment, laissera le point I et le sommet A de différents côtés de sa direction. Or la résultante appliquée en I est dirigée de haut en bas ; la réaction du plan sur le point A ne peut être dirigée que de bas en haut. Ces deux forces tendraient toutes deux à faire tourner le corps dans un même sens autour de CB. L'équilibre ne serait donc pas possible, et le corps chavirerait autour du côté CB.

Il faut donc, pour l'équilibre; que le point de passage de la résultante, I, soit compris à l'intérieur du triangle ABC. Celle condition remplie (fig. 88), il sera facile de déterminer les réactions positives des points A, B, C. Prenons les moments des forces par rapport à un côté quelconque, BC. Abaissons des points A et I, sur ce côté BC, des perpendiculaires AA', la. Appelons, comme tout à l'heure, Z' la résultante des forces extérieures, laquelle est négative

i38 ÉQUILIBRE DTN SOLIDE

par hypothèse; son moment par rapport à l'axe BC sera égal kl'xla; le moment de la réaction R du point A sera égal à RxAA'; les moments des autres réactions sont nuls, de sorte qu'on a Téquation

Z'xla + RXAA'=0,

ou bien

Mais la et AA' sont les hauteurs des triangles IBC, ABC, lesquels ont une base commune BC, et sont entre eux comme leurs hauteurs; la réaction du point A est donc à la résultante des forces extérieures, prise en valeur absolue, comme le triangle IBC est au triangle ABC. De même, la réaction R' du point B est à la même résultante comme le triangle lAC est au triangle ABC, et la réaction R" du point C est à la résultante comme le triangle lAB est au triangle ABC. La résultante des forces extérieures est d'ailleurs la sommé des trois réactions R, R', R", et le triangle ABC est la somme des trois triangles IBG, lAC, lAB; on peut donc dire que la résultante des forces extérieures se partage entre les trois points d'appui A, B, C, proportionnellement aux aires des triangles IBG, lAC, lAB, qui ont pour sommet commun le point I, et pour bases les côtés du triangle opposés aux points d'appui.

Si les trois points A, B, C sont en ligne droite, les triangles lAC, IBC deviennent nuls, et la répartition des réactions reste, comme nous l'avons vu, indéterminéie. Mais il faut toujours, pour que les réactions soient positives, que la résultante des forces extérieures coupe la droite des appuis entre les appuis extrêmes; autrement elle tendrait à faire basculer le corps autour de l'appui le plus voisin.

Enfin, s'il y a plus de trois appuis, et s'ils ne sont pas en ligne droite, on prouverait, comme, nous l'avons fait pour le cas de trois appuis, qu'il faut, pour qu'il y ait équilibre, que la résultante des forces extérieures passe au dedans du poly-