h cos 6 + M

qui est une fraction rationnelle par rapport à 1 , et dans laquelle I désigne un angle réel. Son développement suivant les puissances de » sera

1 + 2h cos » + 2»« cos 21 + 2»» cos 31 + 2»* cos 4( + ele;

cause de

1 — 2» cos I + »» = (t - »)' + 4ksin« ~ i , nous aurons donc, dans cette hypothèse,

= l + 2S»«cos«»;

ce qu'on peut aisémer.t vérifier; car si l'on multiplie cette série infinie par le dénominateur 1—2 *cos • + »» de la fraction , on retrouve aon numérateur, en observant qu'on a

2 cos al cos » = cos (» + l) • + cos (a - 1) I,

quel que soit le nombre ». Si J» est moindre que l'unité , abstraction faite du signe, cette série sera convergente , et la fraction sera rigoureusement égale à non développement prolongé a l'infini ; à

(l fc). + 4» shv -

la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier », depuia »= l jusqu'à »=» . Quelles que soient la fonction/» et la courante réelle »,

/•« L 1 ~ »' II™ - = f*fl di + «S* /"/» «H « (• ~ •] *

J (| /,). -|- 4A »ui> ± (» — •) J o J «

STATIQUE , SECONDE PARTIE

Soit g une quantité positive et infiniment petite, cette équation subsistera encore en y faisant h = 1 — g, puisqu'elle a Heu pour toute valeur do A

de n, on

pour des valeurs infinicsdecet exposant, h' pourra

n (• — .) dt = — fi sin n (» — •] n

sin n (8 — •} dt ;

en sorte que si fi ne devient pont infinie entre les limites (=0 et 1=*, ni pour ces limites, l'intégrale

J/k cot«(l.) dt, qui multiplie *« , s'évanouira

pour m=x ; d'où il résulte qu'on pourra toujours remplacer h- par l'unité sous le signe 2. Au numé-

rateur de la fraction comprise sous le signe f, on aura 1 — k* = 2g, en négligeant g* par rapport a 2g; dans le second terme du dénominateur, on pourra mettre l'unité an lieu de h ou 1— g ; et, de cette manière, i

gfldi

g* + 4 sin* J», (• — •)

Le coefficient de dt sous cette dernière intégrale est infiniment petit, eicepté pour les valeurs de 6 infiniment peu différentes de •, qui rendent son dénominateur infiniment petit ; cette intégrale est donc infiniment petite ou nulle , tant que la différence * — » est une quantité finie; ce qui aura lieu toute l'étendue de l'intégration, lorsqu'on i< 0, ou •>«-; donc toutes les fois que la constante • tombera en dehors des limites léro et a-, on aura l'équation

^f*f*» + cos »(•-.) dt = 0. (2)

Si , eu contraire, on a « > 0 et < » , il y aura des valeurs de I qui différeront infiniment peu de en faisant donc

| SB ■ + v, dt = du,

l'intégrale dont il s'agit s'évanouira encore pour les valeurs finies de mais non plus pour les

infiniment petites de cette variable, positives ou négatives ; à l'égard de celles-ci, on aura

/!=/., sinl (•-.)=!„;

par conséquent, le second membre de l'équation (1) devient

y'* g du

lorsque «tombe entre téro et t. Or, cette intégrale étant nulle pour tonte valeur de y qui n'est point it petite, nous pouvons maintenant l'é- • , sa ns en altérer la valeur, à des valeur» quelconques de u, positives ou négatives, et la

prendre, si nous voulons, depuis st= — ao jusqu'à

« = oo :

et finale

—J**ftdt + % f*f* COi «(• — *)* = »/«• (3)

Ce raisonnement conviendra encore au cas où m coïncide avec une des deux limites xéro ou x ; mais •i l'on a * = 0 , on ne pourra donner à h que des valeurs positives , et seulement des valeurs négatives , si Ton a • = «■, afin que dans ces deux cas , la variable l qu'on a faite égale à • -J- * * ne sorte

pas des limites de l'iutégration. De cette manière, l'intégrale relative à si se trouvera réduite à la moitié de sa valeur, ou à -i « ; et si l'on représente

par tf et y les valeurs de /* qui répondent à • = 0 et a as », il en résultera

— /'* ftdt + 2 /'* /• cos nt dt = — »C ,

— f fié* + 2 (— Vf / */• co * »'■■• = — »>•

TEAITÉ DE KECA1UQCE.

I = , dh = j

et soit aussi

La quantité t étant positive et moindre que la

i r ié + i * r ^

et en retranchant ce* deui équations l'une de Tau- Ire, il tient

7 i (y. , ' ,sin - ,i ') ,in T = '' ;

ce qu'il s'agissait de trouter.

32B. Cette forum ! i- représente les valeurs de la fonction ex , pour toutes les valeurs de la variable x, qui sont positives et moindres que a, et même pour x sa 0 et x = a, lorsque a s sera nulle pour ces valeurs extrêmes. Il est important d'observer que la série indiquée par 2, finira toujours par être convergente ; car pour de très grandes valeurs de m, l'intégrale relative i x' deviendra une très petite quantité , qui diminuera de plus en plus à mesure que n augmenterait qui sera tout-à -fait nulle pour n = oo , comme on l'a vu plus haut au moyen de l'intégration par partie. Cette remarque est né-

a , mettons à la place de », i

rx

l'équation (2) et - dans l'équation (3) ; en a

relatives à x' seront îéroet a,

sire et suffit pour justifier l'emploi qu'on fera de la formule précédente.

Les différentes formules par lesquelles on peut ainsi représenter en séries de quantités périodiques, toujours convergentes , des portions de fonctions arbitraires continues ou discontinues , se déduisent des équations (fi), que nous venons d'établir. Je me contenterai de donner ici deux de ces formules , qui nous seront utiles dans la suite; pour de plus grands développemens sur cette matière , je renverrai à mes Mémoires sur le Calcul intégral, qui font partie du Journal de PÉcoU Polytechnique , et où l'on trouvera une théorie complète de ce genre de transformations.

Après avoir ajouté les équations (5) et retranché la première de la seconde, j'y mets 21 au lieu de a, puis x -\-ltls 1 + 1* la place de x et s', et ensuite ex et ex» au lieu de e(x + /) et •(*' + 1) ; les limites des intégrales relatives a x' deviennent + /, et ces équations sont remplacées par celles-ci :

Partageons chaque somme S en deux autres , dont i bre entier quelconque ; et faisons successivement l'une se rapporte aux nombres n pairs , et l'autre I n = 9i t n = 2s' — 1 ; noua aurons aux nombres n impairs. Pour cela, soit s* un nom- |

cos — (— \f cos — , sin = (— i> s.n-y ,

cos - ( 1), .,„ ,.,n - __(-l).co. ,

mr les sinus et cosinus compris sous les signes /; par conséquent , on aura

If {fi y « if *• ) c»±i

1 . / , (ai — i) «' ,\ (a» — i) «x

et de

STATIQUE, SECONDE PARTIE

les sommet S «V tendant à toutes les valeurs de i, depuis s'= 1 jusqu'à s = oo . Ces équations auront lieu pour toutes les valeurs de s qui

prises entre les limites -± L

Cela posé, si la fonction ax eat telle que Ton ait • (—*)= — »x, il en résultera

%x> oV = 0, / ( M 1 coi — dx'= 0, j t M «-os £ d,' = t»,

e4,en

^ sin —J- ds = 2 / sin — aV,

/.« , (M — 1) »aT* . j* . (»s~ l)»» ' . .

de quoi la seconde équation (0) coïncidera avec la formule (a), en y changeant a en I; et la première ae réduira à

sin

(2s - 1) wx

tx' sin ^ d*')

Si, au contraire, la fonction •* est telle que l'on ait •(—*) = fx, on aura

oV = 0,^ ( »x» sin ^ dx' = 0;

et les autres intégrales pourront s'étendre seule- I l'équation (7), en y mettant / — x au lieu de et ment depuis # = 0 jusqu'à * = /, en doublant les j ex ù la place de • (/ — *). La première équation (8) résultats. La seconde équation (*} rentrera

Ces formules (7) et (8) représenteront les valeurs de «x, depuis * = 0 jusqu'à x = /; celles qui s'en déduiront, en les difTérentiant par rapport à *, cii le même intervalle, les voleurs de

•x = 0 pour

dax

x = l; la formule (8) esige que

dax

que ces conditions ne sont pas remplies, ces formules ou leurs différentielles n'ont pas lieu pour les valeurs eitrèmes de x.

327. Réciproquement, les formules de ce -rn refont connaître les sommes des nombreuses séries périodiques que l'on a obtenues par différens moyens. Ainsi, par exemple, pour en déduire lu somme de lu série dont on a fait usage dans le n° 324, j'ajoute les équations (2)et (3), après avoir mis — • à la place de • dans la première ; il en

l'on ait = 0 pour x — 0 et pour x — l. Lors-

y*/»d» + 2 2 Ç j ' C ° % " Wl ) < ""

Je prends ensuite/ ( ~ 6 ; on a alors

• eos hw — l / 1 ros n »d» = ;

quantité nulle pour tous les nombres pairs, et égale

à — (g t |)i P° ur » =as W — 1 • L'équation précédente devient donc

la somme 1 s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier s, depuis » = l jusqu'à » = oc .

En multipliant par dm et intégrant , on en déduit

On n'ajoute pas de constante arbitraire, parce < les deux membres de cette équation sont nuls, soit pour m — 0 , soit pour * = » ; en sorte que celte i a lieu pour toutes les valeurs de *, depuis

« = 0 jusqu'à » = * inclusivement. Si I on y fait m. ss~ * -J. m, on mira

sio (2* - 1) * = - (- 1> cos (Cs- 1) et, par conséquent;

(-1>cos(2,-l> */ ^ X

— ïh=ïj> - B v 4 *;-

lis • = — -j- «■ jusqu'à • = «. Je multiplie

parité et j'intègre de

; il en résulte

(-îysin (2s- 1)» nJ ~> »

ce qu'il s'agissait d'obtenir.

328. Si l'on met Sa au lieu de a, et ensuite t'-\- a et * + n à la place de * et s 1 , dans la seconde équation (5), et qu'on fasse • (o -f- *■) = F* , on

Ft

pour toutes les valeurs de * comprises entre ± o. En faisant

celte équation pourra s'écrire ainsi F*

ezLj^W oV+ - 2 |^/^ Fx cos si {$? - *)J ,;

u étant un multiple de et la somme Is'étenJant à toutes les valeurs de w, depuis « = • jusqu'à s» = » . Or, ai la constante a devient infinie, la différence i des valeurs consécutives de «deviendra infinimeut petite , et la somme 1 se changera en une intégrale prise depuis «=i, ou s» = 0, jusqu'à « = ce . En faisant donc a — 00 et ■ rs du, mettant le sigue j au lieu de S , et supprimant la premier terme de la formule précédente, nous au-

ts =- y \/Zm F *''° S "(*'-*) <u\lu.

Fonrier a donné le premier cette formule importante, qui s'étend à toutes les valeurs réelles, positives ou négatives, delà variable *, et convient, comme les précédentes, dont elle se déduit , à une fonction quelconque F*, continue ou discontinue.