PC = TU

comme dans les ciemples précédons : mais ici • et C sont les projections verticales des espaces décrits simultanément par les poids R et P, tandis que t dans le cas précédent, • et C étaient ces espaces mêmes.

330. D'il près ce qu'on a vu dans le n° 49, deux forces qui se font équilibre par l'intermédiaire d'un levier quelconque , sont en raison inverse des espaces infiniment petits , projetés sur leurs directions respectives, et qnc peuvent décrire en même temps leurs points d'application. Cet énoncé est celui qui convient à tous les cas. Ainsi , en appelant P et R la puissance et la résistance en équilibre par l'intermédiaire d'une machine queloonque, supposant qu'on imprime un mouvement infiniment petit à cette machine , et désignant par C et • les projections sur les directions de ces forces, des espaces qui seront décrits en même temps par leurs points d'application , on aura tonjours

PCz=Q.;

à quoi il faut d'ailleurs ajouter que l une des projections devra tomber sur la direction même de la force correspondante, et l'autre sur son prolongement, ainsi que cela a lieu dons le levier.

Dans la pratique il suffira que le mouvement imprimé à la machine soit seulement très petit. En mesurant les longueurs des projections C et a, on en conclura immédiatement lcrnpporlde la puissance à la résistance, sans rien connaître de la composition particulière de la machine.

331. Non seulement cet énoncé convient à une machine quelconque , mais il s'étend aussi à un nombre quelconque de forces en équilibre. Soient donc, en général, M, H', M", etc. (fig. 82), un système de points matériels liés entre eux de telle manière qu'on voudra ; supposons que des forces P, P', P", etc., agissent sur ces points, suivant les directions HA, S'A', M" A", etc.; faisons subir à ces points des déplaccmens infiniment petits et compatibles avec les conditions du système, de sorte qu'ils soient transportés en N, V, N'', etc. ; projetons N, N', N", etc., sur les droites MA, M'A', M"A", etc, en a, a', a", etc., et posons

Ma = p, M'a' = p>, M"a" = p", etc.

En considérant ces projections p, p 1 , p", etc.,

comme des quantités positives ou négatives, selon qu'elles tombent sur les directions des forces correspondantes, ou sur leurs prolongement, noua aurons

Pp + Py + P"p" + etc. = 0 ,

lorsque l'équilibre aura lieu ; et réciproquement il y aura équilibre, quand cette équation subsistera pour tous les déplaccmens compatibles avec lea conditions du système.

Lesdroitesinfinimentp«UtesMN,MTl',M''N",etc., sont ce qu'on appelle les vitesses virtuelles des points M, M', M", etc.; dénomination qui provient de ce qu'elles sont considérées comme les espaces qui seraient parcourus simultanément par les points du système , dans le premier instant où l'équilibro viendrait à se rompre.

Ou doit observer que le principe des vitesses virtuelles , contenu dans la formule qu'on vient d'écrire, donne seulement les conditions d'équilibre qui peuvent être exprimées par des équations, mais non pas celles qui sont relatives à la direction decertaines forces, et à l'étendue dans laquelle elles doivent rencontrer un plan fixe (n° 2M). Les) mouvemens compatibles avec les conditions du système , qui donnent lieu à des équations d'équilibre, sont ceux dont les mouvemens directement contraires sout également possibles. Mais, par exemple , si un point matériel est posé sur un plan fixe, le mouvement sera possible dans ce plan, suivant chaque direction et suivant la direction contraire ; et perpendiculairement à ce plan , il ne pourra avoir lieu que dans une seule direction. Or, la considération des mouvemens dans le plan, donnera I ieu aux conditions d'équilibre qui s'exprimer t par des équations , et la considération du mouvement perpendiculaire déterminera seulement la direction delà force narmale, qui doit être contraire à celle du mouvement possible. Dans l'énoncé dit principe des vitesses virtuelles, on suppose implicitement que chacun des mouvemens compatibles avec les conditions du système, et le mouvement directement contraire, sont également possibles; en appliquant successivement l'équation précédente à ces deux mouvemens, les quantités p,p'^\ etc., changeront toutes de signes, et il n'en résultera qu'une seule équotion d'équilibre.

Si la force P, est la résultante de plusieurs forces données Q, Q', Q", etc., et qu'on représente par o, y', g'', etc., les projections de Ma sur leurs directions, on aura(n° 34)

PP = Qï +QY + QV + etc;

en sorte qu'on pourra remplacer dans l'équation précédente, le terme Vp relatif a la force P, par cette somme de termes de la même nature, qui répondent à ses composantes ; et de même , par rapport aux forces P,P', P", etc., si elles sont aussi les résultantes de plusieurs autres forces.

Le principe des vitesses virtuelles, dans le ci*

STATIQUE, SECONDE PAK1IR

d'un point isolé en équilibre, e»t, comme on l'a vu dans le n° 30, une conséquence de cette dernière équation, soit qu'il s'agisse d'un point entièrement libre , ou qu'il soit aasnjetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée. Il s'agit actuel* lement de démoutrer ce principe géuéral, dans le cas d'un système quelconque de points matériels H, M', H", etc.

332. Supposons ces points liés entre eux par des «erg es inflexibles ou par des fils flexibles, dont les un» soient Gxeroent attachés à ces points, tandis que d'autres les traversent comme des anneaux mobiles. Dans ce dernier cas , ces pointa ou anneaux ont la liberté de glisser le long des fils qui les traversent, et que l'on suppose , pour cela , parfaitement flexibles.

Après qu'on a appliqué les forces données P, P', P\ etc., aux points 1, M', M", etc., et que l'équilibre s'est établi, il est cbir que les fils qui joignent ces points deux à deux, éprouveront chacun une tension particulière, c'est-à-dire, que chacun de ces fils sera tiré à ses deux extrémités par des forces égales et contraires, dirigées suivant ses prolongemens, ainsi qu'on l'a déjà dit dans le cas du polygone funiculaire (n° 286). L'intensité de cette force sera la mesure de la tension inconnue que ce fil éprouve. Un fil qui ne serait pas tendn, ne contribuerait pas à l'équilibre^ l'on pourrait en faire abstraction.

La tension peut varier d'un fil à un autre; mais •'il s'agit de deux fils qui sont le prolongement l'un de l'autre à travers un anneau , la tension est la même dans ces deux parties d'un même fil qui doit nécessairement éprouver ane égale tension dans toute sa longueur (280). Ainsi, par exemple, si H est un anneau traversé par le fil M'MM", la tension de Ml' sera égale à celle de MM".

Lorsque plusieurs fils viennent se croiser dans un même anneau , la tension est la même dans les deux parties de chaque fil, et peut varier d'un fil à l'entre. Si donc , outre le fil M'MM", il passe encore nn fil M'"MM", dans l'anneau M, la tension sera la même dans les deux parties MM'" et MM" de ce dernier fil , et , en général , elle sera différente de celle des deux parties MM' et MM ', du premier fil. Et ai un autre fil , tel que MM* vient aboutir au même anneau M auquel il soit fixement attaché , ce fil aura sa tension particulière, généralement différente de toutes celles des autres fils qui aboutissentau même point M.

Observons encore que si M' est un anneau ainsi que M , et que le fil M 'MM' , après avoir traversé l'anneau M, passe encore por l'anneau M' pour aller abontir eu point M"', la tension sera la même dans Us trois fils M"M, MM', M'M"'; car alors ces trois fils n'en font qu'un seul M"MH'M". En général, lorsqu'un fil est partagé en plusieurs parties, par des anneaux mobiles , la tension est la même dans toutes ces parties.

A l'égard des verges inflexibles , quand l'équili-

bre existe, elles sont tirées ou poussées dans le sens de leur longueur , par des forces égales et contraires, agissant à leurs extrémités. L'intensité commune de ces deux forces , pour chaque verge , est la mesure de la tension ou contraction qu'elle éprouve. S'il en existe une ou plusieurs dans le système , qui ne soit ni tendues , ni contractées , elle sont inutiles à l'équilibre, et l'on peut les supprimer. Ainsi, dans ce qui va suivre, nous supposerons tous les liens physiques qui existent dans le système, tendus ou contractés suivant leurs longueurs par des forces inconnues.

L'avantage du principe des vitesses virtuelles est de donner l'équation d'équilibre dans chaque cas particulier , sans qn'on ait besoin de calculer ces forces intérieures ; mais comme la déoionstra* lion que nous allons donner est fondée sur la considération, de ces forces, de grandeur inconnue , voici la notation dont nous ferons usage pour les représenter.

Nous désignerons par [m, es'], la tension ou la contraction du fil flexible ou inflexible qui joint deux points quelconques M et M' du système. De celte manière [m, m"], [*»', s»"], etc., représenteront les tensions ou contractions des fils qui joignent M et H ', M' et M", etc.

333. Nous aurons aussi à considérer les variations infiniment petites qu'éprouvent les distances des points M, M', M", etc., pris deux à deux, soit qnond l'un de ces points change seul déposition, soit quand ils sont déplacés simultanément. Alors, nous désignerons par (m , m') la distance de deux points quelconques M' et M'; en sorte que (sa, m"), (m' f m"), etc., soient de même les distances de M et M ', M' et M", etc. Nous emploierons la caractéristique l t , pour indiquer les variations de ces distances, relatives au déplacement du point M; la caractéristique t,', pour indiquer celles qui ont lieu quand c'est le poiut M' qui se déplace j la caractéristique t t '\ pour indiquer les variations provenant du déplacement de M"; et ainsi de suite. Enfin, nous réserverons la caractéristique X, sans aucun accent, pour indiquer la variation de la distance de deux points, résultant de leurs déplscemens simultanés.

Puisqu'on suppose, par exemple, que M a été transporté de M en R et M' , de M' en N', nous aurons

t (as, m') = MM' - IW , I, (m, •*/) = ■■'- ïll\ //(«,, m') = MM' — W ;

Il est important d'observer que la variation totale, indiquée par t, est égale à la somme de variations partielles , iudiquées par X, et // ; de manière qu'on a , pour deux poinU quelconques,

X (sa, .V)=4 [m, m') + X/ >, «');

équation qui résulte de ce que les déplacemens de M et M' sont infiniment petits, et qui n'a lieu que dans cette hypothèse. En effet (m, m') est une

TRAITÉ DR MÊCAIfIQUI.

des coordonnées de ces déni points ; cet) variables prennent des occroissemens infiniment petits , positifs ou négatifs , quand H et M' sont transportés en N et S'; or, en rejetant les puissances île ces aocroissemens supérieures k la première, il est évident que l'accroissement total d'une fonction quelconque de ces coordonnées, est égal k U

k la variation de chaque coordonnée isolément; par conséquent , la variation totale de ( s», sa' ), indiquée par la caractéristique /doit être égale à la somme de ses variations partielles qui répondent k f et I/.

334. Tout ce qui précède étant admis , considérons le point quelconque H , auquel est appliquée la force donnée P. Ce point est lié nus autres par les fils MJ1', MM", etc.; il est donc tiré ou poussé, dans le sens de chacun de ces fils , par une force égale k la contraction ou k la tension que ce fil éprouve ; en sorte qu'outre la force donnée P, la

lis k l'action «fautant d'autrès forces qu'il y a de fils aboutissant k ce point. Après qu'on a eu égard k ces forées intérieures , il faut faire abstraction des fils qui lient M au> autres points du système, et le considérer comme un point isolé, autour duquel les forces [m, m' [. [as, ai"], etc. , et la force P, doivent se faire équilibre. Si M est un point lue , il n'en résultera aucune équation de condition; mais s'il est entièrement libre, ou s'il est seulement assujetti k rester sur une sur-

forces l'équation des vitesses virtuelles , déjà démontrée pour l'équilibre d'un point matériel isolé.

Pour former cette équation , prenons un point W infiniment voisin de M, et appartenant k la surface ou k la courbe sur laquelle ce point H est astreint à demeurer , s'il n'est pas entièrement libre. Soient p, <, t t t\ etc. , les projections de kW sur les directions des forces P, [m, m'], [m, as"], [m, m'"], etc. ; nous aurons (n° 39),

Pp + [as, m'], t + [m, m"], t + ["»,*'"]• + +

Mais k cause quo la ligne MN est infiniment petite, il est aisé de voir que sa projection sur la ligne km' n'est autre chose que la différence des deux distances MM' et Ml' ; car si Ton abaisse du point Il (fig. 83) la perpendiculaire ÎIH sur Ml', la droite MU sera cette projection , et l'on aura IH = H' - HM'.

Or | on a aussi

HI' = |/ (HM'js — (NH)« — M', eu négligeant les infiniment petits du second er-