m'"], t (as», as'") + etc

-f-yelc. sa 0

STAÎ1QIR,

l,l'R , ,M"n",etc.

(fig.88), .ont indépendans entre eux ; et l'équation(a) suppose seulement que ces points n'ont pas quitté les surfaces ou les courbes données, •t» lesquelles ils sont obligés de rester ; mais si nous supposons, en outre, qu'en vertu de ces déplacemens , les points du système qui sont joints par une verge ou un fil tendu , ont conservé les mé-

*(*»,«•') = 0, *(m, «,'') = <>, f(a.',m") = 0, etc., «t l'équation (fl)se réduira a celle-ci :

Pp + py + p"p" 4. vy + etc. = 0, (*)

qui est précisément celle du principe des vitesses virtuelles (n» 331).

Si dans les dépheemensdes points 9, 31', M'', etc., ceux qui sont des anneaux ont glissé le loug des fils qui les traversent, l'équation b) aura encore lieu, pourvu que les longueurs totales de ces fils n'aient pas varié. Supposons , par exemple, que M est un anneau qui a glissé le long du fil M'MM'j alors on n'a pins séparément m') = 0 et

I («a, as") = 0, mail on a toujoura

I (as, m') + t (m, m») = 0,

puisque la longueur totale du fil reste constante. Hais , dans ce cas, les tensions [m, m'] et [m , as"] des deux parties de ce fil sont égales; les termes qui renferment ces tensions dans l'équation (a) peu-

(m, WJ. [* («, «0 + ' («•, ■»")],

et, par conséquent, ils se détruisent.

En général, on conçoit que si un fil flexible passe à travers un nombre quelconque d'anneaux , les tensions égales de ses différentes parties dispnrai-

Pp + Vf + P>» + etc. +

ou simplement

Rr + RV + RV -f etc. as 0, (c);

en vertu de l'équation (b), qui a lieu par hypothèse.

Cette équation (c) existant pour tous les mouvement infiniment petits compatibles ovec les conditions du système des points M, H', H", etc., nous pouvons choisir pour leurs vitesses virtuelles les espaces réellement décrits HN, M'y, M"N", etc., dons un même instant; mais comme ces lignes sont comptées sur les prolongemens des directions de R, R',R' , etc., il s'ensuit que toutes les projections r, r 1 , r", etc., seront négatives (no 331), et égales , abstraction faite du signe, à ces mêmes lignes MS, M'Y, M"N", etc. Alors, tous les termes de I équation (c) étant de même signe, leur somme ne peut être nulle, à moins que chaque terme ne soit séparément égal à xéro ; on aura donc

R .111 = 0, rj'H'cO, R" M" a" = 0, etc.

Iront de l'équation (•) toutes les fois que la longueur totale de ce fil ne variera pas.

Concluons donc, enfin ,

1» Que l'équation résultante du principe des vi-

infiniment petits qu'on peut donner à un corps solide, libre ou géné par des obstacles fixes; cardans aouvemens les dislances respectives de* de ce corps sont invariables.

£e Que cette équation a aussi lieu pour tous les mouvemens infiniment petits que peut prendre un système de points ou d'anneaux liés par des fila flexibles, pourvu que ces fils restent droits ou tendus. Quand cette condition n'est pas remplie, les tensions ne disparaissent pas toutes dans l'équation (a), et, contéquemment, l'équation (b) n'a plus lieu.

336. Il fout encore démontrer que, réciproquement , quand l'équation (b) a lieu pour tous les mouvemens infiniment petits qu'on peut faire prendre au système des pointsB, M', M", etc., les forces données P, F, P", etc., sont en équilibre, ainsi que nous l'avons énoncé précédemment (n°331).

Supposons pour un moment que l'équilibre n'ait pas lieu. Les points H, M', M", etc. , ou une partie d'entre eux, se mettront en mouvement , et , dana le premier moment , ils décriront simultanément des droites telles que Mit, MW, M"W, etc.} on pourra donc réduire tous ces points au repos , en leur appliquant des forces convenables, dirigées suivant les prolongemens de ces droites, en sens contraire dea mouvemens produits ; par conséquent , si nous désignons ces forces inconnues par R, R', R", etc., l'équilibre aura lieu entre les force* P, V, P", etc., R, R', R", etc. ; en sorte que r, r', r", etc., désignant les vitesses virtuelles projetées sur les directions de ces nouvelles forces R, R', R", etc., on aura , d'oprès le principe des vitesses virtuelles qui vient d'être démontré ,

Rr + RV + R»r» + etc. = 0 ,

Or, pour que le produit R. MN soit nul, il faut qu'on ait , ou R = 0 , ou MN = 0 ; ce qui signifie , dans l'un et l'autre cas, que le point M ne peut prendre aucun mouvement : il en est de même à l'égard de tous les autres points; par conséquent, le système entier est en équilibre ; et c'est ce que nous nous proposions de démontrer.

337. Lorsqu'il sera question des fluides, nous ferons voir, en partant de leur propriété fondamentale, que le principe des vitesses virtuelles a aussi lieu dans l'équilibre d'un système de forces dont les actions se transmettent par l'intermédiaire d'un fluide contenu dans un canal ou dans un vase de forme quelconque. De cette manière, la démonstration du principe général de l'équilibre aura toute l'étendue que l'on peut désirer; car les verges inflexibles, les fils tendus, les fluides contenus dans des canaux , sont les différentes sortes d'intermédiaires qu'on peut établir entre des points

TRAITÉ DB

MÉCAMQUE.

matériels , séparés les uns des autres , pour transmettre l'action des forces de l'un de ces points à un outre; et si d'ailleurs , parmi ces points, il y en a qui soient immobiles, d'autres parfaitement libres, et d'autres assujettis à rester sur des surfaces ou sur des courbes données , on aura le système de points matériels le plus général qu'on puisse avoir besoin déconsidérer. Toutefois, je vais donner une autre démonstration du même principe , que l'on doit à Lagrangc, et qui repose sur des notions plus élémentaires que la précédente; elle est fondée sur la possibilité de remplacer toutes les forces appliquées à un système quelconque de points matériels, par un seul poids agissant comme on va d'abord l'expliquer.

338. Si un point H (fig. 84) est sollicité par une force P dirigée suivant la droite MA, on peut d'abord supposer que cette force soit appliquée au point A, et agisse ou moyen d'un cordon MA attaché à co point M. On peut ensuite remplacer ce cordon par un fil qui s'enroule alternativement sur une moufle fixe et sur une moufle mobile, et soit attaché par l'un de ses deui bouts à l'une ou à l'autre de ces deux moufles ; celle qui est fixe répondant ou point A , celle qui est mobile au point M. En suspendant verticalement un poids K à l'extrémité libre du fil, la tension sera égale à K dans toute sa longueur. Si les dimensions des poulies sont regardées comme infiniment petites , les tensions do toutes les parties de ce fil , qui aboutissent à la moufle mobile , auront la même direction ; en appelant sieur nombre, leur résultante sera égale k i K . et agira sur le point M suivant la direction MA ; par conséquent , •i l'on a »K. = P, on pourra remplacer l'action de la force P par celle du poids K.

Il en sera de même à l'égard des autres forces P', P", etc. , appliquées h des points M', M", etc., suivant des directions M'A , M"A \ etc.; chacune d'elles pourra être remplacée par un poids égal a un sous-mulliplc de son intensité, agissant comme on vient de l'expliquer pour la force P. De plus, il est aisé de voir qu'on pourra toujours faire passer suc* eessivement, comme le représente la figure 85, un seul et même fil sur toutes les moufles fixes en A , A', A", etc., et sur toutes les moufles mobiles attachées aux points M, M', M", etc. Supposons donc que s', i, s", etc. , sont des nombres entiers , et qu'on ait

»K =P, ffi—V, »*K. = P", etc. (d)

En suspendant verticalement le poids K. à l'extrémité libre de ce fil, le système des forces données P, P', P", etc. , se trouvera remplacé par ce seul poids , dont l'action sera transmise aux points X, M', M", etc. , par l'intermédiaire de ce fil , et des moufles fixes et mobiles. A la vérité, les équations (<f) supposent les forces P, P', P", etc., cornmensurubles ; mais cette hypothèse est toujours admissible, puisque leur commune mesure K peut

être un poids aussi petit qu'on voudra, et même infiniment petit, si cela est nécessaire.

339. Concevons actuellement qu'on imprime aux points M , M', M", etc. , un mouvement qui soit compatible avec les conditions du système , ainsi que le mouvement directement contraire; soient N , K', W, etc., leurs positions après un temps infiniment petit ; et appelons, comme précédemment, p, v't V > etc M 1°* projections de M.\, M V, M 'R", etc., sur les directions de P, P', P', etc., ou sur leurs prolongement.

Le point N étant projeté en a sur la droite MA , chacun des cordons qui vont de A à M sera raccourci d'une quantité AM — API , pour laquelle on pourra prendre Ma, en négligeant les infiniment petits du second ordre ; ce cordon serait , au contraire, allongé de Ma, si le point a tombait sur le prolongement de AM ; d'où l'on conclut qu'à raison du déplacement de M, le poids K descendra dans le premier cas, et montera dans le second, d'une quantité égale au produit de Ma et de s; ce qui revient è dire, d'après le signe dep (n° 331), que la variation positive ou négative de sa hauteur ver* ticale sera exprimée por s/», a raison de ce seul déplacement. Il en sera de même par rapport à tous les autres points M', M", etc. ; par conséquent , si Ton désigne par { une quantité infiniment petite , qui représente, selon qu'elle sera positive ou négative, la quantité totale dont le poids K descendra ou montera, par suite des déplacemens simultanés de tous les points du système, nous aurons

f = ip + »>' + i'p" + etc.

Or, le poids K. tendant à descendre, etcUnt la seule force qui agisse sur le système, il est évident que rien ne l'empêchera de produire le mouvement que nous considérons, si cette valeur de { est positive; et que, si elle est négative, rien n'empêchera le poids K du produire le mouvement directement contraire , qu'on suppose également possible, et pour lequel; changera de signe. Pour que l'équilibre ait lieu, il est donc nécessaire que { soit xéro. Réciproquement , le poids K ne pouvant produire aucun mouvement quelconque, sans descendre d'une quantité infiniment petite daus lu premier instant, il s'ensuit qu'il n'en produira aucun, et que l'équilibre aura lieu, si l'on a { = 0, pour tous les déplacemens des points M, M', M", etc., infiniment petits et compatibles avec les conditions du système.

Maintenant, si l'on multiplie par K l'équation ip + ,y + ,<y« + etc. = 0,

nécessaire et suffisante pour l'équilibre , et qu'on ait égard aux équations (d), elle se changera dans l'équation (6) du principe des vitesses virtuelles , qu'il s'agissait d'obtenir.

340. Cette démonstration ne suppuse pas le principe préalablement démontré pour un point maté-

STATIQUE, SECONDE PARTIE

riel isolé. Si le systèmo te réduit à un seul point H auquel «ont appliquées le» forces P, P", P", etc., données en grandeur et en direction , on substituera à leur action simultanée celle d'un seul poids K, comme dans le n« 338; et, dans le eus de l'équilibre de ces f or res , le principe des vitesses virtuelles se déduira de cette substitution par le raisonnement qu'on vient de foire : or, ce principe fournira immédiatement les équations d'équilibre &a point M , assujetti à rester sur une surface ou sur une courbe, on entièrement libre (11° 39). Dans ce dernier cas, en considérant l'une des forces données comme étant épale et contraire à la résultante de toutes les autres, on en déduira les règles de ion et de leur décomposition , et le : du parallélogramme des forces. En appli- I ce principe a l'équilibre de trois forces parallèles, dont Tune est , par conséquent , égale et contraire à la résultante des deux autres , on en conclura également les règles de la composition et de la décomposition des forces parallèles.

On déduit aussi , sans difficulté , du principe général des vitesses virtuelles , les équations d'équilibre d'un corps solide entièrement libre, que nous avons trouvées d une autre manière dans le n° 260.

En efTet , nous pouvons d'abord supposer que tous les points de ce corps décrivent des droites égales entre elles et parallèles à l'un des axes des coordonnées. En appelant h la longueur de ces droites, et », •', •",etc, les angles que leur direc- ; fait avec celles des forces données,

p = h cos p =k cos •', p" = k cos a", etc.

pour les vitesses virtuelles des points M , M', M", etc., du corps solide, projetées sur les directions des forces PjP^P'', etc., appliquées à ces points ; donc, en substituant ces valeurs dans l'équation [b), et supprimant le facteur A, comme à tous les termes, on aura l'équation d'équilibre

P cos «j 4- P' cos + P" cos + etc. = 0.

En considérant successivement les mouvemens du corps parallèlement aux deux autres axes des coordounées, on obtiendra de même 1rs deux autres équations d'équilibre scmblublesa celle-là,

Nous pouvons aussi faire tourner le corps autour de l'un des axes des coordonnées. Pour former l'équation qui correspondra à ce mouvement, je

représenterai les coordonnées des points M , M', M", etc. , et les angles que font les directions des forces P, P 7 , V , etc. , avec celles de ces coordonnées , par les mêmes lettres que dans le n° 260. En supposant que la rotation ait lieu autour de l'axe des s, chacun de ces points décrira nn arc de cercle parallèle au plan des x et y, qui aura pour rayon la perpendiculaire abaissée de ce point sur cet axe. De plus, par la nature du corps solide, l'angle décrit par c< lté perpendiculaire sera le même pour tous ses points. Si donc on le suppose infiniment petit, qu'on le désigne par », et par r, r 1 , r'\ etc. , les distances des points H , ■', H", etc. , à l'axe de» %, on aura r«, r*», r"#, etc. , pour leurs vitesses virtuelles; et en appelant aussi t, J", etc. , les angles aigus ou obtus que font les directions de ces vitesses avec celles des forces P, P', P", etc., il en résultera

p = rmcx>»l, p' = r>m cos »V'= r"« cos t", etc.,

pour les projections de ce» mêmes vitesses sur les directions de ces forces ou sur leurs prolongerons.

Soient, en outre , a, b t e, les angles compris entre la direction de la vitesse r» et des parallèles aux axe» de» *, y, », menées par le point H; les même» angles relatif» à la direction de la force P étant «, C, y % on aura

cos l = cos a cos « -f- cos b cos C -f- cos e co» y ;

mais à cause que la vitesse r» est tangente en 1, au cercle du rayon r qui a son centre dans l'axe des », il est aisé de voir qu'on a

cos 6 = ± — , cos a = qp — cos c = 0 , r r

et, par conséquent,

p = rm coa t = ± (a cos < — y cos •) ».

On aura de même

p 1 = ± (*' co» C — y' cos «' ) . , = ± (,» cos C»-y"co»."j

etc.

Les signes dépendront du sens de la rotation ; et Ton devra prendre, à la fois, les signes supérieurs ou les signes inférieurs dans toutes ces valeurs ; en les substituant donc dans l'équation (1) et supprimant le facteur ± m, nous aurons

p (x cos C — y cos •) + pf (s' cos C — y' cos •') + etc. = 0.

Cette éqoation d'équilibre est celle des par rapport à l'axe des a , autour duquel le ment a eu lieu; on obtiendra de la même manière le» équations des momens par rapport aux axes des x et des y, en faisant tourner successivement le solide autour de ces deux droites.