On peut donner à l'équation {b), une forme

différente qui en rendra les applications pins faciles.

Pour cela, soient s , y , s, le» coordonnées du point H dans sa position d'équilibre; * + Ix , y 4/ ty, a + t s, ce qu'elles deviennent quand on transporte ce point matériel dans une position N infiniment voisine; X, Y, Z, le» composantes de L

force P suivant le* prolongemess des s, y, », dans le sens positif, ces quantités infiniment petites ts, ty, iz , seront les projections de la vitesse virtuelle HN sur les directions de X, Y, Z; et pétant toujours sa projection sur la direction de P, on aura (n» 331)

Vp = Ils + YXy + Us.

En désignant par les mêmes lettres avec des accens,les quantités analogues qui répondent ans points M', ■", etc., on aura aussi

py = X'ts' + y'Jy' + l'ls\ Vf sa X'tm" + Y»V + l"l»",

et si Ton ajoute ces équations et la précédente , on

Pp + j»f> + Vp" + etc. =2 (XI* + Yly + Us) ;

la somme 2 attendant à tons les points S , 1', M", etc. , du système , et se composant, par conséquent, d'un nombre de parties semblables, égal à

lière, l'équation (l> prendra la forme :

2(X* + Yly + Z/.)=0, (.)

qu'il s'agissait de lui donner.

Or, quelle que soit la liaison des points du système, on peut toujours l'exprimer par une ou plusieurs équations entre leurs coordonnées. Soient donc L , L , L", etc., des fonctions données de s t y, s, s', y 1 , etc. , ou d'une partie de ces coordonnées ; et supposons que ces équations soient

L = 0, L' = 0, L" = 0, etc. (/)

Les déplacemens simultanés de toua les points du système devant être compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti , il faudra que les coordonnées s, y, s, s', y', etc., de I, H', M", etc., et les coordonnées x -f- t s, y -f- s y, ; + tm «* 4* *to., de N , N', N", etc., satisfassent successivement à ces équations , par conséquent , en négligeant les inGniment petits do

dx>

tx + 7

ts + -

dx<

dL'

dL"

~ds~

etc.

Si l'on ebange en même temps le sens des déplacemens de tous les points du système, les signes de tx, ty, t s , tx 1 , etc., changeront tous à la fois , et ces équations seront encore satisfaites; en sorte que le mouvement infiniment petit auquel elles répondront , et le mouvement directement contraire, sont également compatibles avec les conditions données, comme le suppose implicitement l'énoncé du principe des vitesses virtuelles (n° 331).

Cela posé , au moyen de ces équations (y), on éliminera , dans chaque cas, de l'équation (a), un nombre des quantités ts , ty, ts , tx', etc., égal à celui des équations if); celles de ces quantités qui resteront ensuite dans le premier membre de l'équation (a), seront indépendantes entre elles ; on devra donc égaler séparément leurs coefficiens a zéro; ce qui fournira toutes les équations d'équilibre du système, dont le tiombre sera égal è trois fois celui des points matériels M, M', M", etc., moins le nombre des équations f i Lorsque les positions de ces points, c'est-à-dire, les vuleurs de leurs coordonnées s, y, s, x\ etc., seront données, il faudra que les composantes des forces P, P', P", etc. , satisfassent à ces équations d équili-

bre; quand, au contraire, on donnera ces forces en grandeur et en direction, et que les positions des points du système seront inconnues, ces mêmes équations, joiutes aux équations f , serviront à déterminer toutes leurs coordonnées.

342. Les équations (#) et (y) étant linéaires par rapport à ts, ty,ls, ix , etc., l'élimination d'nne partie de cea quantités pourra se faire , d'après la méthode connue, en ajoutant ces équations après avoir multiplié les équations (y) par des facteurs indéterminés, et en égalant à xéro, dans cette somme, les coefficiens de celles des quantités tx, ty, ts, ts', etc., qu'on voudra éliminer. Les coefficiens des quantités restantes devant ensuite être aussi égaux à xéro, il s'ensuit qu'on devra égaler à téro les coefficiens de toutes les quantités ts , ty, ts, ts* , etc., indistinctement, dans la somme dont il s'agit; d'oùil résultera un nombre d'équations égal à celui des coordonnées, entre lesquelles il restera, dans chaque cas, à éliminer les facteurs indéterminés, pour avoir les équations d'équilibre du système.

Eu désignant par a, a', A ', etc., les facteurs par lesquels on multipliera les équations (y), on aum ,

STATIQUE

dl dl>

dl'

ds dx

dl dV

dl"

dl dV

dl"

etc = 0,

etc. = 0 ,

coefficient de *», *y,t 3; on «ur.de même

dl dl' dl" \

dl dl' dl"

*y dy ^ r

dL dl> dl*

ds' ds' d*> T

pour celles qui proviennent dei coefficiens de JaV, 'f** et ainsi de suite.

Au lieu d'éliminer simplement a, x», a", etc., on pourra tirer de ces équations les valeurs de ces inconnues ; nous allons eipliqoer comment on en dédnira ensuite, en grandeur et en direction les forces provenant de la liaison des points du système, qui agissent sur tous ces points et font équilibre aux forces données P, P», P", etc. La détermination de ces forces inconnues est une partie importante du problème de l'équilibre, dont la solution complète et générale se trouvera ainsi comprise dans l'ensemble deséquations (/), («), (A'), e t c .

343. Si l'on suppose que tous les points du système, moins le point M , soient rendus fixes, l'équilibre ne sera pas troublé. En vertu de l'équation L = 0 , le point H sera alors astreint à se r sur la surface dont L = 0 est l'équation ,

l dl s

t dx* ,

1 dl' i

«I = , cos b, =

•> dx „

1 dl" i

cos a, sa ■, cos b, = —

etc. ;

et dans laquelle les coordonnées x, y,*, seront seules variables. Or, en désignant par p fa résistance de cette surface , laquelle sera dirigée suivant une des deux parties de la normale en M, on pourra remplacer cette surface , ou l'équation de condition L = 0, par cette forée inconnue. De même, on pourra remplacer L'=0 par une force/-, normale à la surface qui répond à cette équation ; L" = 0 par une force normale à la surface correspondante ; et ainsi de suite. Donc, enjoignant a la force donnée P, ou à ses composantes X, Y, Z , ces forces normales a,«i , m, , etc., on pourra ensuite considérer le point H comme entièrement libre et isolé. Par conséquent , si l'on désigne par a, », c, les angles que fait la directinn de la force (* ■veo des parallèles aux axes des *, y , s, menées par le point kl ; par a. , b, , c » , les mêmes angles relatifs à la force /> t ; et ainsi de suite, nous au-

X + M cosa + ^, cos a, + Mt cos a, +etc.=0, Y + ^cosi+A». coso, + Ml cos*, +etc=0, l + ?. cos c + cos c, + Mi cos c, + etc. = 0,

pour les trois équations d'équilibre du point M. De plus , si l'on fait , pour abréger,

etc.,

i, par les formules connues {iv 21) , 1 dl

dy dl'

dy'

dl.'

cos c = ,

1 dl'

cos c, = ,

1 dl" r, ds

d'équilibre en 1

ce qui changera les trois celles-ci :

#• dl s», di.' M » dV

*+--+- - + + etc. = 0,

t dx ds ds

M dl m. dl' M dl."

*+-- + -- + - ~- + etc. = II, t dy r, dy t, dy

t* dl M , dl' M , il"

1 + h H 1- etc. ss n.

» ds »j dz r, ds

Or , en les comparant aux trois équations {g) avec lesquelles elles doivent être identiques, on en conclut

M = hi — »i x', u, as u x", etc.

Ainsi, par rapport au poiut N , les forces provenant de sa Imison avec d'autres points du système, sont exprimées par les produits »a, r,x', »,a", etc. : ces forces devant être des quantités positives , on donnera aux radicaux »,►, , r» , etc. , les mêmes signes qu'aux quantités x , a', a", etc. , et leurs di-

TRAITÉ DE MÉCASIQIE.

empiétement déterminée!

équations (i).

Si l'on appelle de même s»', f*i,Mt, etc. , les force» provenant delà liaison du système, qui agissent sur le point M' et tout normales aux différente* surfaces sur lesquelles H est obligé de se mouvoir, quand tous les autres points M, M", M"', etc. , sont i, on trouvera pareillement

avec les

lA t ' = raX», etc.

On obtiendra de même les expressions des relatives aux points H", M'", etc.