COS C

et qu'on devra prendre les signes supérieurs ou inférieurs, selon que la valeur de x sera positive ou négative, on en conolut, par exemple, que la force appliquée au point M sera dirigée de M vers M', et exprimera une contraction du côté MM', quand cette valeur sera négative, et que cette force agira dans le sens opposé et exprimera une tension, lorsque la valeur de x sera positive. L'un ou l'autre de ces deux cas sera possible, si les côtés du polygone sont des verges inflexibles , jointes par des charnières ; et le second cas pourra seul avoir lieu, si les côtés sont des fils flexibles.

Les équations (*), (V), (V), etc., pourront s'écrire ainsi :

Les trois premières montrent que la tension x sera la résultante des forces X, T, Z. En lès ajoutant- aux trois suivantes, on aura

x + v = i^ill t T + v = il^l2,

ce qui fait voir que la tension x' sera la résultante

de V, Y', Z», et des forces X, Y, point M', parallèlement à elles-mêmes. En continuant de môme, on aura pour la tension d'un côté quelconque la même valeur que dans le n° 287.

Le nombre des sommets M, M', H", etc., étant désigné par u, celui des équations précédentes sera 3n, et celui des- tensions x, x', xi', etc., égal k n — 1. En éliminant ces quantités , on aura donc 2»+ 1 équations d'équilibre, lesquelles, jointes aux n — 1 longueurs données /,f, etc., des côtés du polygone, su (liront pour déterminer les 3« coordonnées de ses sommets, et, par conséquent, sa figure d'équilibre. Mais ce calcul n'aurait aucune utilité; et il vaut mieux, comme nous l'avons fait dans le n» 286, tracer successivement les côtés du polygone funiculaire, d*après les grandeurs et les directions données qui agissent à ses differens sommets.

340. Dans le cas d'un système quelconque de points matériels M, M', M", etc., si les forces données, qui sont appliquées à ces points, proviennent de leurs attractions ou répulsions mutuelles, et de forces semblables qui émanent d'un ou plusieurs centres, on aura

ï{Xds + Ydy +Zds) =o> (*, y, », x-', y*, s', etc.);

» désignant une fonction donnée des coordonnées de M, 1', 1", etc., dépendante de la loi de ces forces par rapport aux distances.

En effet, a l'égard des forces provenant des centres fixes, cela résulte de ce qu'on a va dans le n» 158. Supposons, en outre, que U exprime l'action mutuelle de M. et M', qui sera attractive, pour fi ver les idées. Soit aussi st leur distance mutuelle, de sorte que 0 soit une fonction donnée de si, et qu'on ait

Les cosinus des angles que fait la droite MM' aveu des droites menées psr le point M, suivant les diy, s, positive*, 1

en les multipliant par U, on aura les composantes de cette force appliquée au point H et dirigée suivant MM'. Celles de la même force U, appliquée au point M' suivant la direction M'M, seront égales et contraires; et de là on conclut

- \(x> - x) [dx - dx>) + (y' - y) (dy - dy') + (»' - s) (ds - dâ')li

au

l'action et delà réaction de M et H'. Or, en

= («» - .) (eV -ai») + (y» - y) («y - a» + (*• - ») («V - ds);

ce qui réduit la quantité précédente à — Udu, c'està-dire, à le différentielle d'une fonction de H. Il en tera de même pour les parties de la tomme 1 provenant des actions mutuelle! des antres points du système; par conséquent, sa valeur entière secom- > termes qui seront tous des différentielles i et cette valeur sera aussi la différentielle d'une fonction donnée des coordonnées de tous ces

En vertu de l'équation (s), cette fonction , qne nous représentons par a, sera un maximum ou un

nées qui répondent a une position d'équilibre du système ; et, réciproquement, si Pon détermine le maximum ou le minimum de la fonction e, en ayant égard aux équations (f) qui peuvent être données entre les coordonnées, les valeurs qu'on obtiendra pour ces variables répondront a des positions d'équilibre.

Ou conclut de là que quand le système des points M, M', M", etc., est en mouvement, de sorte que onnées, et, par suite, la quantité a, i fonctions du temps , cette fonction e atteindra son maximum ou son minimum , tontes les fois que le système passera dans une position où il resterait en équilibre, si les points qui le composent n'avaient pas de vitesses acquises.

347. Il y aura entre le maximum et le minimum de la quantité a une différence essentielle, à laquelle il. importe d'avoir égard, et que nous allons expliquer.

On dit que l'état d'équilibre d'un corps ou d'un système de corps est s table , lorsqu'en écartant un tant soit peu ces mobiles de leurs positions , ils tendent à y revenir , eu faisant de petites oscillations que les frottemens et les résistances des milieux finissent toujours par éteindre ou rendre insensibles. L'équilibre est non stable ou instantané, lorsque le corps ou le système de corps qui est dans cet état, tend de plus en plus à s'en éloigner, et finit par chavirtr, dès qu'on l'en a un peu écarté. En ne supposant aucun frottement qui puisse, jusqu'à un certain point, retenir les corps dans leurs positions, ce second état d'équilibre est un cas purement mathématique, qu'on ne saurait jamais observer , puisque la moindre force perturbatrice suffirait pour le détruire

Cela posé, les équations fournies par le principe des vitesses virtuelles, ou, ce qui est la même chose, par la condition du maximum ou du minimum de la fonction t , sont communes à ces deux états; mais le maximum convient à la stabilité, et le minimum à l'équilibre instantané; et c'est, en effet, ce que nous ferons voir dans un autre chapitre , on nnns considérerons la nature du

ment qui a lieu lorsqu'un système de points matériel» a été très peu écarté d'un état d'équilibre quelconque. I la attendant, nous allons donner des exemples de ces deux états d'équilibre dans le cas d'un système de corps pesant, et faire connaître d'abord une propriété de son centre de gravité.

348. Supposons donc que la pesanteur soit la seule force appliquée aux points M, M', H", etc., lesquels seront les centres de gravité de corps dont nous représenterons les poids par «, V, m" , etc. En prenant la pesanteur verticale et dirigée dans le JCRa5 © cet i"^rC"C ^ tiou^ ^ïirom

l = «, V = or*, V = «", etc.;

o> = ««h + m>dl' + V'da" + etc.

Hait en appelant II la tomme tlet poids at, V. «", etc., et ti l'ordonnée de leur centre de gravité, verticale et dirigée dans le sens de la pesanteur, on a aussi (n<> 64)

n,, = m» + «V + «"s" + etc.;

• = • + Ht, ;

c étant une constante arbitraire.

Or, on conclut de là, 1" que l'ordonnée a, est la quantité qui devra être un maximum ou un minimum, lorsque le système sera en équilibre , et réciproquement} 2 > que le maximum de Si dra au cas de l'équilibre stable , et i au cas de l'équilibre instantané.

Ainsi, la condition d'équilibre quelconque de corps pesans , consiste en ce qne le centra de gravité du système entier soit le plus bas ou le plus haut possible ; le plus bas quand l'équilibre est stable , et le plus haut quand il n'est qu'instantané.

349. D'après ce théorème, si une chaîne pesante, attachée par ses deux bouts à des points fixes , est en équilibre , son centre de gravité sera le plos bas possible ; ce qui s'accorde avec le résultat du

Si un point matériel pesant est posé tur une courbe , et qu'en plusieurs points la tangente soit horizontale, l'ordonnée verticale du mobile, comp-

dans ceux de ces points où la courbe est concave par en haut , et un minimum dans ceux où elle tourne sa concavité par en bas; par conséquent , les premiers seront des positions d'équilibre stable, et 1rs derniers des positions d'équilibre ins-

STATIQUE, SECONDE PARTIE

Si l'on pote un ellipsoïde homogène et pesant , sur un plan fue horizontal, ton centre de gravité, ou de figure, ter* le plui bas possible lorsque l'ellipsoïde touchera le plan fixe par Tune des deux extrémités du plus petit de ses trois axes ; et alors l'équilibre sera stable. Quand il le touchera par l'une des extrémités du plus grand deses trois axes, son centre de gravité sera le plus haut possible; et l'équilibre ne sera qu'instantané. Enfin , si le point de contact est une extrémité de l'axe moyen , l'élévation du centre de gravité sera un minimum pour une partie des sections du corps , et un maximum pour les autres sections; par conséquent, l'équilibre sera stable ou non stable selon que les déplacemens auront lieu dans le sens des premières sections ou dans lé sens des dernières. Tout cela étant évident, à priori, peut servir de vérification au théorème du numéro précédent.

Supposons encore qu'on ait versé dans un vase deux liquides homogènes et pesans. Si la surface de séparation et celle qui termine le liquide supé-

rieur sont toutes deux horixontalea , et que ce liquide soit celui qui a la moindre densité, le centre de gravité de ces deux liquides sera le plus bas possible; car il est aisé de voir qu'en inclinant ou courbant l'une ou l'autre des deux surfaces , on élèvera toujours le centre de gravité du système. Ces deux surfaces étant toujours horixontales, si le liquide le moins dense est au-dessous de l'autre , on verra de même que le centre de gravité du système sera le plus haut possible. Par conséquent , pour l'équilibre de deux liquides superposés , il est nécessaire et il suffit que chacun d'eux soit terminé par un plan horisontal ; mais , pour la stabilité , il faut, de plus , que ce soit le liquide le plus dense qui occupe la partie inférieure du vase. Quand la différence des deux densités est peu considérable , il est possible, avec beaucoup de précaution , de faire surnager le liquide le plus dense ; mais cet équilibre non stable ne peut se maintenir asset de temps, pour être observé, qu'à raison du frottement des deux liquides contre les parois du vase.