chapitre; prrmif.r

PIUNCIPB GKNKBAI. DE LA DYNAMIQUE.

360. Lorsque des points matériels, soumis à des forces données , sont liés entre eux d'une manière qnelconque , ils prennent , à chaque instant , des vitesses infiniment petites, différentes de celles que ces forces leur imprimeraient s'ils étaient Hbres. Ces forces étant connues , ces dernières vitesses le sont aussi ; et le problème général de la Dynamique consiste a en déduire, en grandeur et en direction , les accroissemens de vitesses qui ont réellement lieu. Sa solution dépend d'un principe très simple que Ton doit à D'Alembert , et d'après lequel on ramène toutes les questions relatives au mouvement , a de simples questions d'équilibre , toujours résolubles par les régies exposées dans le livre précédent.

Pour énoncer ce principe d'une manière précise, soientm la masse d'un des points matériels que l'on considère , et m la vitesse que la force qui le sollicite lui imprimerait, s'il était libre, dans un temps r infiniment petit. Appelons qr l'accroissement de vitesse qui aura également lieu pendant ce même instant, et dont la direction différera , en général , de celle de la vitesse donnée ut. Par la règle du parallélogramme des forces, qui s'applique également aux vitesses (n° 14S), décomposons «r en deux autres vitesses , dont l'une soit qr, et l'autre sera représentée par pr. La force motrice appliquée au mobile aura le produit mst pour mesure ; celles

qui seraient capables des vitesses fr cipr, auront pour valeurs mq et mp; et nous pourrons regarder la force donnée mu comme la résultante de la force mq, à laquelle est dû l'accroissement de vitesse qui a réellement lieu, et de la force mp, dont l'effet est détruit par la liaison des points du système. Nous appellerons cette dernière la force perdu».

Désignons par les mêmes lettresavec des accens, savoir, q', p<; •", «", q",p", etc., les quan-

tités analogues à m, u, q, p, qui répondent aux autres points du système. Quels que soient leur nombre et leur liaison mutuelle , il est évident que les forces perdues mp, m'p',m"p", etc. , devront se faire équilibre; car si cet équilibre n'avait pas lieu , ces forces produiraient de certaines vitesses infiniment petites pendant l'instant r, et , par conséquent, qr, q'r, q"r, etc., ne seraient plus , contre l'hypothèse, les accroissemens de vitesses qui ont réellement lieu.

C'est en cela que consiste le principe de D'Alembert. Au lieu des forces mp, «y, m"p" , etc. , on peut mettre, dans les équations d'équilibre du système que l'on considère, les quantités de mouvement mpr, m //r, mf'p"r, qui leur sont proportionnelles , et alors on dit qu'il y a équilibre entre les quantités de mouvement infiniment petites , perdues dans chaque instant par tous les points du système , en vertu de leur liaison mutuelle.

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

361. On peut changer cet énoncé général en an outre qui sera souvent plus commode.

Observons, pour cela, qne SJM étant la résultante de mij et mp , chacune de ces composantes , la seconde par exemple, est aussi la résultante de mu et de l'autre composante mq , prise en sens contraire de sa direction ; en remplaçant ainsi chacune des forces perdues mp, m'p', m"p", etc., par les deux forces dont elle est la résultante, nous voyons que le principe de D'Alembert revient à dire qu'il ; a constamment équilibre entre les forces données, qui agissent sur tous les points d'un système de points matériels en mouvement, et les forces auxquelles sont dus les accroissemens infiniment petits de vitesse qui ont lieu à chaque instant , ces dernières forces étant prises en sens contraire de leurs directions. On remplacera , si l'on veut , les premières forces par les quantités de mouvement **«r, m'u'r, m'Vr, etc., et les dernières par mer, *sYr,s»"a"r,etc., en donnant à chacune des vitesses q, v[ , q'' , etc. , une direction contraire à la sienne , et laissant à u, u", etc., leurs propres directions.

Ce second énoncé a l'avantage de conduire immédiatement à des équations entre les inconnues q, î*> ^"t etc M e * 1" données du problème, qui sont les vitesses si v!', etc. Ces équations résulteront, soit des conditions d'équilibre, soit des liaisons qui auront lieu, dans chaque cas, entre les points du système ; elles seront toujours en même nombre que les coordonnées de tous ces points (n° 342), et, conséquemment , en même nombre que les composantes des vitesses q , i/ t q" t etc., parallèles aux axes de ces coordonnées ; en sorte qu'elles feront connaître, en grondeur et en direction , les accroissemens de vitesse de tous les mobiles à chaque instant; ce qui est, comme nous l'avons dit , la solution générale du problème de la Dynamique. Remonter ensuite de ces accroissemens infiniment petits aux vitesses et aux coordonnées du mobile en fonctions du temps, est une question de calcul intégral.

362. Lorsque les forces mq , m'tf , m"o", etc. , auront été détermiuées, si on les prend eu sens contraire de leurs directions , et qu'on les compose avec les forces mit , roV, m"sj", etc. , on aura les forces perdues mp, m'p', m'p", etc. C'est à ces dernières forces que sont dues les tensions des fils , des verges élastiques et de toui les liens physiques qui peuvent exister entre les différons points du système, ainsi que les pressions exercées sur les surfaces et les courbes donuées qu'ils peuvent être obligés de parcourir; et, d'après le premier énoncé du principe de D'Alembert , ces pressions ou tensions se détermineront, dans l'état de mouvement de système, par les règles de lu Statique appliquées aux forces perdues (n u 343).

Pendant le mouvement, une partie de la force donnée, qui agit sur cbuque mobile, est donc employée à faire varier sa vitesse, et n'a aucune influence sur les pressions ou tensions dont il s'agit ;

et l'autre partie, qu'on regarde comme détruite ou perdue, produit ces tensions ou pressions , et n'influe nullement sur la vitesse. Lorsque le système est parvenu à un état permanent dans lequel tous les points qui le composent se meuvent uniformément, la première partie de chaque force est nulle, et la force entière est détruite, c'est-à-dire, employée à produire les pressions contre les obstacles fixes , et les tensions des liens physiques , comme si ce système était en équilibre.

Supposons , d'après cela , qu'une corde soit en mouvement suivant sa longueur, et que des forces données agissent à ses deux bouts suivant ses prolongemens. Si ce mouvement demeure uniforme , les deux forces seront égales , et leur valeur commune exprimera la tension de la corde; si, au contraire , les deux forces sont inégales , l'excès de la plus grande sur la plus petite sera employé à accélérer ou à retarder le mouvement de la corde , et sa tension aura pour mesure la partie de la plus grande force détruite par la plus petite, ou égale et contraire à celle-ci. Pur exemple, lorsqu'un cheval traîne un fardeau sur une route , et que le mouvement du système demeure uniforme , l'effort du cheval, parallèlement à la route, est égal au poids du fardeau décomposé suivant cette direction, plus le frottement du fardeau contre la route; il est constant quand l'étut de la roule et son inclinaison ne varient pas; si ou lesuppose transmis au fardeau par le moyen de plusieurs cordons parallèles entre eux et à la route, l'effort total sera égal à lu somme des tensions de tous ces cordons; et, dans la pratique , on mesure l'effort exercé suivant chaque cordon par l'extension d'un ressort interposé suivant sa longueur. L'inclinaison et l'état de la route ne changeant pas, si les efforts de l'animal augmentent ou diminuent, le mouvement du système s'accélère ou se ralentit, sans que les tensions éprouvent aucune variation. Lorsque la route est horixontale , le frottement insensible, et le mouvement uniforme , le cheval n'a d'autre force a développer que celle qui est nécessaire pour sa proprn marche ; il n'exerce aucun effort suivant les cordons attachés au fardeau , et leurs tensions sont constamment nulles.

3ô3. Le principe de D'Alembert a aussi lieu relativement aux quantités de mouvetnens finies, perdues par des corps liés entre eux d'une manière quelconque, et sur lesquels on exerce des percussions simultanées , qui ne sont autre chose que des forces motrices agissant sur les mobiles avec de très grandes intensités et pendant de très courts intervalles de temps (n° 126).

Ainsi, supposons qu'une force de cette nature agisse sur le point dont la masse est m, pendant un temps fini, nuis asseï petit pour que le poiut m et tous les autres points du système ne changent pas sensiblemeut de position dans cet intervalle de temps. Représentons-le par», et par U la vitesse de grandeur finie que cette force imprimerait au point

m, s'il était libre; et toit aussi Q U vitesse qu'elle lui imprime réellement, de sorte qu'au bout du temps • il se trouve animé de la vitesse qu'il avait auparavant, de la vitesse Q, et de celle qui lui est communiquée, pendant le même temps, par les forces motrices qui peuvent agir sur le système, indépendamment des percussions. Décomposons la vitesse U en deux autres, l'une égale à Q, et l'autre que je représenterai par P. Faisons des suppositions semblables à l'égard des autres points m', m", etc., du système, et désignons, par rapport a ces points, par L\ Q', V; L", Q", P", etc., les quantités analogues à U, Q, P. L'équilibre existera dans le système, soit au commencement, soit à la fin du temps entre les quantités de mouvement perdues mP, «P'.as'PVlc.

En effet, décomposons la durée «des percussions en un nombre infini d'instans infiniment petits, Soient r l'un de ces insUns, m*r, m'm'r, «.'Vr, etc., les parties infiniment petites de asP , nt'P' , ta"P",etc, perdues pendant cet instant, et, comme précédemment mpr, m'fVr , as"p'V , etc., les quantités infiniment petites de mouvement, provenant des forées motrices, et perdues dans ce mémo instant. D'après l'énoncé du n° 360, il y aura équilibre, dans le système, entre ces deux groupes de quantités de mouvement; chacune des équations relatives à cet équilibre sera de la forme :

Am«r -f A'mVr + A"m'V'r + etc.

+ Bwpr + B'myr + B'Wy'r + etc. = 0,

en désignant par A, A', A", etc., B, B', B", etc., des coeflkiens dépendens des positions des mobiles; et cette équation subsistera pendant toute la durée • des percussions. La somme des valeurs de son premier membre qui répondent à tous les instaus de cette durée, sera donc égaie k séro; mais, dans cette sommation, on pourra regarder les coefliciens comme invariables, puisque, par hypothèse, les positions des points as, sa', as", etc., ne changent pas sensiblement pendant toute la durée des percussions ; de plus, les sommes des valeurs de m-*r, roVr, sVV'r, etc., seront les quantités de mouvement asP, m'F, e»"P", etc. ; cello de mpr, mïp'r, m'y r, etc. , pourront être négligées par rapport aux premières , parce que les effets des forces motrices, telle que des poids et des attractions dirigés vers des centres fixes ou mobiles , pendant tes durées des percussions, sont généralement insensibles porrapport aux effets de ces autres forces ; par

A«iP + A'm'P' + àW + etc. = 0.

Il en sera de même à l'égard de toutes les équations d'équilibre du système, qui subsisteront toutes entre les quantités de mouvement perdues «P, as'P', m"P", etc.; ce qu'il s'agissait de faire voir.

A cause de l'invariabilité des coefliciens A, A', A", etc., pendaut la durée des percussions, ces

•ment ou à la fin du temps t. Pour plus de commodité, on a supposé cette durée la même pour toutes les percussions ; ce qui est permis évidemment, pourvu que • soit la durée la plus longue dee percussions que l'on considère en même temps.

Les percussions proviendront, en général, dea chocs des mobiles entre eux ou contre des obstacles fixes. Il pourra arriver que pendant le temps t, ces corps gliasentun tant soit peu l'un contre l'autre oss contre ces obstacles ; ils éprouveront alors des f m t temens qui leur enlèveront de certaines quantités de mouvement : or, ou ne peut pas négliger ces quantités comme celles qui proviennent de la pesanteur et des attractions; car le frottement est une force proportionnelle à la pression, c'est-à-dire,

stant, des quantités de mouvement infiniment petites , proportionnelles à celle que la pression pourrait leur imprimer dans le même instant ; d'où il résulte que les effets des frottemens, pendant le temps •, peuvent être comparables à ceux des percussions. Ainsi, quand il y aura un glissement des mobiles pendant la durée des percussions, il faudra établir l'équilibre entre les quantités de mouvement perdues par les frottemens et celles que nous avons représentées par «P, m'P', s»"P», etc. On pourra, si l'on veut, remplacer les vitesses P, P 1 , P", etc., psr leurs composantes, c'est-à-dire par des vitesses égales et contraires à Q , Q', Q", etc., et par les vitesses U, 1", U", etc., ] propres directions.

Cette extension du principe général de la ] mique aux quantités de mouvement de grandeur finie, servira à déterminer les vitesses des corps d'un système, soit k l'origine du mouvement, soit pendant sa durée, quand ils se rencontrent ou qu'ils viennent choquer des obstacles fixes , et , généralement, lorsque les vitesses des mobiles éprouvent ce qu'on sppelle des changement hrusquu.

354. Les différentes applications du principe général de la Dynaoique, que nous aurons à faire dans la suite de ce Traité, seront relatives à des mobiles entre lesquels il existe des liens physiques quelconques, qui agissent, en outre, l'un sur l'autre par voie d'attraction ou de répulsion à distance, et qui éprouvent des percussions à des ïnstsns particuliers. Hais avant d'aller plus loin, je crois utile de donner, dans ce chapitre , un exemple simple de trois circonstances , pour servir de ax généralités qu'on vient d'exposer.

Considérons d'abord, comme dans le quatrième cas du n° 329, deux corps pesans, attachés aux extrémités d'un fil qu'on regarde comme inextensible, et posés snr deux plans inclinés, adossés l'un à l'autre. Soient h la hauteur communede ces deux plans, l la longueur de l'un deux, t celle de l'autre, m. la masse du corps posé sur le premier, m' celle du corps posé sur le second, et g la gravité. Si l'on fait abstraction du frottement, la force accélératrice du

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

premier mobile sera égale à la composante de la pesanteur soirant le premier plan, laquelle est

du second mo-

bile sera de même — .Désignons, au bout du temps

f, par v la vitesse commune à tous les points de m, et par v' celle de tous les points de s» 1 ; et oonve-

comme négatives, selon que les mobiles descendent ou s'élèvent. Pendant l'instant dt, v et »' augde dv et aie'; mais, pendant ce même les forces accélératrices imprimeraient aux s'ils étaient libres, les vitesses positives 9 h 9*

— ittt—di: en vertu de la liaison des deux / 9

corps, les vitesses qu'ils perdent pendant l'instant

gh gh dt sont donc — dt — dvti — dt — oV. Or, pour

l V que les deux quantités de mouvement eorrespon-

De plus, les deux vitesses t> et v' sout égales et de signe contraire ; car, dans le mouvement dont il s'agit, l'une des deux masses descend et l'autre s'élève, en parcourant des espaces égaux sur les pions

d'où je

*' = — t>, oV = — aV

cette valeur de dv dans l'équation (1);

dv =

il) k

(as + as') if

et, en intégrant, (m/'

9* + Oi

e étant U constante arbitraire.

Si l'on multiplie par dt et qu'on intégre de nouveau, on aura l'espace parcouru par m sur son plan incliné; mais cette valeur de «suffit pour montrer que son mouvemont est uniformément accéléré ou retardé, selon qu'on a ml > m'ioa W< tn'l. En vertu de l'équation e' = — s», le coutraire a lieu à l'égard de as 1 .

J'appelle T la tension dn fil auquel les deux mobiles sont attachés , laquelle est due à la force perdue à chaque instant par chacun de ces deux corps. Cette force motrice a pour valeur l'une des quanti-

de l'équation (1), divisée par «U;

on a

et, en vient

mettant pour de sa valeur précédente , il

fj + l ) mm'hg (<• + »')* '

dans le ces de «•/=«'{, qui est celui de l'équilibre. Quant à la pression exercée sur chaque plan ineliné, elle est due à le composante perpendiculaire à ce plan, du poids du corps qu'il supporte, et la même que dans l'état d'équilibre.

355. La constante c est la vitesse initiale de m ; si les deux corps sont partis de l'état de repos , on a c = 0 ; mais si l'un d'eux , ou tous les deux , ont éprouvé une percussion à l'origine du mouvement, il faudra en déduire leurs vitesses initiales.

Supposons donc qu'à l'origine du mouvement les mobiles as et aV ont éprouvé simultanément des percussions qui auraient imprimé, suivsnt les prolongemens du fil auquel ils sont attachés , une vitesse a à tous les points de as, et une vitesse a' à tous les points de m', si ces deux corps eussent été libres. Comme leurs vitesses initiales sont «et — c, il s'ensuit qu'à cette origine les quantités de mouvement perdues ont été, en grandeur et en direction ,w(o — c ) et m' ( cr* -f» c ); pour qu'elles

équilibre, d'après le n» 353, il faudra qu'elles soient égales ; on aura donc

d'où l'un tire

La percussion que le fil a subie à cet instant, suivant chacun de ses prolongemens , est due à l'une ou l'autre de ces quantités de perdues , dont la valeur commune est

en sorte quels percussion initiale du fil est la i que s'il était suspendu verticalement à un point fixe , et qu'un corps attaché à son extrémité inférieure fût frappé , dans le sens de la pesanteur, par un second corps animé de cette quantité de mouvement et qui se réunit au premier.

356. Au lieu de deux corps pesans , on en, pourrait considérer trois ou un plus grand nombre , pesés sur une suite de plans inclinés , et dont chacun serait lié au suivant par un fil inextensible : le de ce système de corps serait de la

TRAITÉ DE EÉCAIUyUE.

même nature et se nière que précédemment.

On peut sussi remplacer le. deux corps que l on vient de considérer, par une chaîne pesante, posée sur les deux plans inclinés. En la supposant homogène et d'une épaisseur constante , ot désignant, „„ bout du temps », p«r * et s 1 les longueurs de ses deux part.es, leur. masse, seront entre elle. comme ces quantités, de lorte qu'il faudra d abord remplacer , dans l'équation (!),« .et ?L A plus , pendant l'insUnt dt , la

partie, augmente de l'élément dx , qui prend la vitesse v commune à tou» se. poinU ; pour cette rai.on, la quantité de mouvement perdue par celte partie «era diminuée d'une quantité positive ou négative , et égale à vds. Par une raison semblable, la quantité de mouvement perdue par la seconde partie de la chaîne pendant le même instant, devra être diminuée d'une quantité égale à v'dx' : il faudra donc, eu outre, retrancher vds et v'dx' du premier etdu second membre de celteéquation (1),

Si l'on appelle x la longueur constante de h chaîne entière , on aura

, + *• = *, dx + d*' = 0i le. vite.se. * et r* de .c. deux parties .eroot d'ailleurs

dx dx'

v = -, V = dt dt

d'où il résulte dx' = - dx eteds = t/«V ; et , leld* 1 de l'équation du

tm l'on a fait , pour abréger ,

tH' + O- --, - = c.

L'intégrale complète de cette équation linéaire csl

Réciproquement, si cette conditiou est remplie à un instant déterminé, et qu'à cet instanlles points de la ohalne ne reçoivent aucune vitesse , l'équilibre lieu ; car la proportion

donnant-

l + l .tant dont il s'agit,

ae" + 4eet la vitesse étant

pour la valeur de x , ou aura , à Tin-

ds dt

en désignant par « la base des logarithme, népériens , et par a et b les deux constante, arbitraires, dont ou déterminer, les valeur, d'après celle, de *

et — , qui répondent à I =0. Lorsque toute la

chaîne se trouvera sur un même plan , c'est-à-dire, lorsque la différence s - *' »era devenue égale à ± x, le mouvement changera de nature, et deviendra uniformément accéléré.

Pour que la chaîne demeurât en repos , il fau drait qu'on eût a = 0 et b = 0 ; d'où l'on ~

ce qui fait voir que dans l'état d'équilibre les deux partie»' x et *' de la chaîne sont eutre elles comme les longueurs / et C des plaus inclinés sur lesquels elles sont posée»; en sorte que se» deux extrémités M trouvent dan» une même droite horixontale.

d'où il résulte a = 0 et b = 0.

367. Pour second exemple de l'application du principe général de la Dynamique , considérons le mouvement de deux points matériels soumis à leur répulsion mutuelle; et, pour réduire la i au cas le plus simple, supposons qu'on ne i prime aucune vitesse initiale, perpendicu!

droite qui va de l'un à l'autre; en sorte que leurs mouvemens aient lieu sur une même ligne droite, donnée de position.

Soient «n et m' leurs masses; au bout du temps t , désignons par * et x' leurs distances à un point Exe , pris sur celte ligne , et par v et «" ses , de sorte qu'où ait , à cet instant,

v =. — dt

dx'

En même temps , soit R la force répulsive agissant en sens opposés sur as et m', et qui tendra , pour fixer le. idée. , à augmenter la di»tance *' et à diminuer la distance sr. Pendant l'instant dt, celte

kdt

force motrice imprimera une vitesse — à I*

masse m'; et , comme l'augmentation de vitesse de Wi est réellement oV, ,1 s'ensuit que sa vilesse et

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

sa quantité dé mouvement perdue» pendant cet Rrft

instant seront dV itRdt — m'dc La quan-

lilé de mouvement perdue par «a, dans le même «en» et dans le même instant , sera auasi — Rdf — mdm. Or, ces deux points matériels étant d'ailleurs entièrement libres, il faudra, pour l'équilibre de ces quantité» de mouvement , qu'elles soient sep ! nulles ; par conséquent, ou aura

+ Rdr = 0, « do* — Mt s= 0.

Soit r la distance comprise entre les deux points