V - s = r. dx' - dx = dr

à!ds = w tt e id*' = p'dt, on tirera des

«dr+m'de' = 0 > 2mrdv + SmVaV = 2Rdr.

En intégrant et désignant par e et c' le» deux constante* arbitraires , on aura donc

mv + m'v< = c, mv> + mV» s= 2/RaV + c",

La force R sera une fonction donnée de r; on pourra donc obtenir l'intégrale/ Rrfr exactement ou par approximation ; et si l'on désigne par* la valeur de r à l'origine du mouvement, et qu'on suppose cette intégrale nulle quand r = », sa valeur, à un insUut quelconque, sera une fonction de r et « que je représenterai par f(r , »). Soient aussi a et a* les vitesses initiales de m et m': on aura, à la foi»,

r — m, /(r, •) = 0, v = a , «,' = a', et, conséquemment ,

« = "■« + m'a', ©* = ma» + m'a'* ; d'où il résultera , à un instant quelconque , mv -f «V =ma + mV, 1 Ma» + m'p'. = 2f{r, .) + ma> + m'a'* . f

Ces dernières équations feront connaître, à chaque instant, les vitesses des deux mobiles en fonctions de leur distance mutuelle : on en conclut que toutes les fois que eelie distance redeviendra la même, les carrés t» et «'» reprendront aussi les mêmes valeurs, et que chaque mobile une égale vitesse , dans le mémo sens ou en

pour déterminer, par une nouvelle intégration, la valeur de r en fonction de r, ou réciproquement. D'ailleurs, en multipliant la première des équatioiu(l)par di, intégrant et désignant par * la constante arbitraire, il vient

mx + m s' ^ (ma + «V; t + b.

Ou connaîtra & d'après les positions initiales des deux mobiles; et cette équation, jointe i V — * = r, fera connaître leurs positions a un instant quelconque, c'est-à-dire , les valeurs de * et *' en fonctions de r ou de t, ce qui sera la solution cornpléte du problème.

Si l'action mutuelle des deux mobiles était attractive, il faudrait changer le signe de R, et par suite celui de/"(r, •), dans le» formule» précédentes. Si cette force était une répulsion a certaines distance», et une attraction à d'autres distance», on prendrait pour R une fonction de r qui changerait de «igne dans l'étendue de» valeurs de la variable. Dans tous les cas, il résulte de l'équation précédente que l'action mutuelle des deux mobiles n'altère pas le mouvement de lenr centre de gravité ; car son premier membre, divisé par m mf, exprime la distance de ce centre à l'origine fixe des r et s'; en sorte que le mouvement du centre de gravité est uniforme et indépendant de ta force R.

3S8. Les équations (1) conviennent aussi au mouvement de deux corps solides, de grandeur quelconque, soumis à la force R, et dont les masses sont m et m', pourvu que les vitesses de tous les points de ces deux corps soient constamment parallèles à une droite donnée. Cette force R, répulsive ou attractive , peut alors provenir d'un ressort qui se dilate ou se contracte entre les deux i contre lesquels il est appuyé par ses ou bien encore , on peut supposer que la force R provient d'un fluide élastique qui se développe entre ces deux corps, et les repousse en sens contraire l'un de l'autre.

Ce dernier cas est celui du mouvement du boulet et du canon, pendant que le premier parcourt l'ara» de la pièce. On prendra alors pour m la masse du boulet , et pour m' celle du canon. 11 faudra ,

ser que la totalité de la poudre se réduit en gax à l'origine du mouvement. La longueur de la okary» sera la distance initiale» des deux mobiles; et quand cette distance sera devenue r, la force R exprimera la pression que le gas, ainsi dilaté, exercera sur chacun de ces deux corps. Il faudra, en outre, faire une supposition sur la valeur de R en fonction der. Or, si la température du gax demeurait constante pendant sa dilatation, la force R f d'après la loi de Bariotte , serait en raison inverse des espaces qu'il occuperait dans l'intérieur du non. Soit donc * la pression rapportée à l'unité de surface, exercée par le gax à l'instant où la poudre vient de s'enflammer et où il occupe encore le même espace que la charge. Désignons par m la section de la charge perpendiculaire à sa longueur, qui est aussi la section intérieure de la pièce ; k* sera la valeur de R à l'origine du mouvement ; et , dans le cas de la tcnipératuro constante , nu aurait

TRAITÉ DE 1ÉCAMQUE.

à V i as ta nt qui répond à U distance r des deux mobiles ; car, k cet deux époques, les espaces occupés par le gai sont entre eux comme les longueurs « etr.

Cette expression de R est celle qu'on a généralement adoptée, quoiqu'elle soit fondée sur deux hypothèses inexactes : la totalité de la charge ne se réduit pas en gaz avant le départ du boulet ; et pendant sa dilatation dans Pâme de la pièce, le gas formé doit éprouver de tris grandes diminutions de température Hais ces deux causes influent en sens contraire sur le décroissement de la valeur de & :1a seconde tend évidemment à rendre ce décroissèment plus rapide, tandis que l'effet de la première doit être de le ralentir, à raison des nouvelles quantités de gas qui viennent successivement s'ajouter à la quantité initiale. On suppose que cet deux causes contraires se compensent k peu près, et l'on fait abstraction de leur influence sur l'expression de R en fonction de r.

Cela étant, d'après la valeur de R qu'on vient d'écrire, on aura

en observant que l'intégrale /' (r, •) est supposée nulle pour r = •. On regarde comme nulles les vitesses initiales du boulet et du canon *; en faisant donc a = 0 et a' = 0 dans les équations (1), et y substituant cette valeur de f(r, »), nous au-

m + s»V = 0, «n» + e»V» = 2*.« log — .

Soient l la longueur de l'ame, V la boulet k la bouche du canon, V la v pondante du recul on aura, k la fois,

et l'on déduira des équations précédentes

log —

ce qui fera connaître la vitesse de projection V. Abstraction faite du signe, celle du recul sera égale

k cette vitesse V multipliée par le rapport—.

En égalant à séro la différentielle de V» par rappart h », on déterminera' la longueur de la charge qui répond , toutes choses d'ailleurs égales , au

ïière,

log - = 1 ;

ce logarithme est nëjiér

* r,.;tn l'cianira d> et point d« U «jom «lu Jmr—I i* rlirfU r-.>r.,,,,, 191.

ien, il s'ensuit «-••» U 21* cthi«r

qu'en désignant, à l'ordinaire, par » la base de ces logarithmes, ou aura f ss •» ; de sorte que la valeur de «. dont il s'agit surpassera un pen le tiers de la longueur l de la pièce.

339. La masse as' comprenant celle de la pièce et de l'affût, est toujours très grande par rapport à celle du bôulet, en réduisant donc à m' le diviseur m -|- as' de U valeur de V ■ , on anr