V- = log

Pour faire usage de cette formule, U i taire de connaître la constante Jk, qui représente la force élastique de ls poudre réduite an gat . a l'instant de sa plus grande intensité. Soit pour cela, D la densité de la poudre dans son état naturel ; la masse de la charge sera D** ; en supposant son poids égal au tiers du poids du boulet, on aura

et l'on tirera de l'équotion (2) 3DV»

2log-

Cette quantité Jt sera U pression wtaxima du gas de la poudre, rapportée k l'unité de surface; pour la comparer k la pression atmosphérique , soient « cette autre ptession, h la hauteur barométrique, (à, la densité du mercure, cl j la gravité ; on aura

Soient aussi M le modèle des tables de logarithmes

ordinaire*, et a le logarithme de — pris dans ces

ubles, de sorte qu'on ait

x = I log — ;

il résultera de ces

* 3MDV»

A la température ordinaire d'environ 18», je prends pour les densités de la poudre et du

on a aussi etk U

S = fl 1 » ,80896, h — 0-.76 , de

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

le cas de le pièce de 24, chargée au tiers du

et il en résulte

la pièce de 12, on a de même V = 403

ce qui

En prenant la moyenne de ces deux valeurs de A, qui devraient être égales si la théorie était rigoureuse et que les données fussent exactes, nous au-

t employer

dans la formule (2); mais cette expression de V* ne peut être regardée que comme une formule empirique, d'abord à raison des hypothèses sur lesquelles elle est fondée, et, en outre, parce que dans le calcul direct du mouvement du boulet dans l'am c de la pièce, il aurait fallu avoir égard à la masse de la poudre réduite en gas. En même temps que ce fluide pousse en sens opposés le boulet et le canon, une partie de la force qu'il développe est employée à transporter sa propre masse, qni n'est pas négligeable par rapport à celle du projectile ; et l'on conçoit qu'il en doit résulter une vitesse de projection moindre que si, la force élastique de la poudre restant la même , sa masse était insensible, comme le suppose l'analyse précédente. Cette remarque, due à Lagrenge, prouve la nécessité de considérer à la fois les mouvemens de la poudre et des deux masses m et m', pendant que le boulet est dans la pièce ; mais alors la question se compliqoe, et ta difficulté du calcul ne permet guère d'arriver à aucun résultat utile pour la pratique. Cest donc a 1' expérience qu'il vaudra mieux recourir pour déterminer les vitesses de projection des corps lancés par les bouches à feu. Indépendamment de la considération des portées, que nous avons déjà indiquée (n° 216), il existe un autre moyen d'obtenir eea vitesses, dont il sera question dans un dea chapitres suivans.

360. Appliquons encore le principe de D'Alembert au cas le plus simple du choc des corps , et supposons qu'il s'agisse de deux sphères homogènes, dont les centres se meuvent sur une même ligne droite, et dont tous les poinU décrivent dea

Soient m et m' les masses de ces deux corps, désignons par e et »' leurs vitesses, lorsqu'ils commencent a se toucher, c'esl-n-dire, au premier in. atant du choo : o et e' seront de même signe ou de signes contraires, selon que les deux mobiles iront

à la suite ou au devant l'un de l'autre. Dana les deux cas, nous regarderons la vitesse a comme positive ; «t, après le choc, la vitesse de chacun des deux mobiles sera positive ou négative, suivant qu'elle sera dirigea dans le sens de celte vitesse de m avant la choo ou en sens contraire.

Quelque durs que soient les deux mobiles , ils sont toujours plus ou moins compressibles ; à raison de la différence de leurs vitesses v et e*, ils vont donc se comprimer, en s'appujant l'un contre l'autre ; et , pendant cette compression , la vitesse de l'un des deux corps , de m , par exemple, diminuera par degrés infiniment petits, et celle de as' augmentera de même , jusqu'à ce que ces deux vitesses soient devenues égales. Or, à partir de cet instant, il y aura deux cas distincts à considérer.

1° Si les deux sphères sont entièrement dénuées d'élasticité, elles cesseront d'agir Tune sur l'autre à l'instant où leurs vitesses se seront ainsi nivelées , et continueront de se mouvoir avec une vitesse commune, en restant juxtaposées et couservant les formes que la compression leur aura données.

2° Si , au contraire , les deux sphères sont élastiques , elles tendront a reprendre leur forme naturelle; en y revenant, et s'appuyant toujours l'une contre l'autre, la vitesse de m continuera de décroître graduellement , et celle de m' continuera d'augmenter : il y aura enfin un instant où ces deux corps se sépareront, et ce sera lo fin du choc. Or, dans le cas d'une parfaite élasticité, on suppose que la seconde partie du choc est tout-à-fait semblable à la première; qu'à la fin du choc , les deux corps ont repris exactement leur forme sphérique, et une vitesse commune à tous les points de chacun d'eux ; et que , pendant sa seconde partie , ils perdent ou gagnent des quantités de mouvemeot égales à celles qu'ils ont déjà perdues ou gagnées pendant la première.

Le problème du eboe de deux sphères ne présenterait aucune difficulté nouvelle , et rentrerait dans celui du n 367, si leurs rayons étaient infiniment petits. Pour le résoudre complètement, lorsque leurs rayons ont une grandeur finie , il faudrait avoir égard à la propagation du mouvement dans leurs masses , et déterminer l'état des deux corps à un instant quelconque de la durée du phénomène; ce qu'on peut regarder comme impossible , dans l'état actuel de la science. Nous admettrons donc les suppositions qu'on vient d'expliquer comme étant les données de la question dont nous allons nous occuper; et en combinant ces données avc<le principe de D'Alembert, appliqué aux quantités de mouvement de grandeur finie , il ne s'agira plus que de déterminer les vitesses des deux sphères à la fin du choc, d'après leurs masses et leurs vitesses primitives , soit quand ces deux corps sont entièrement dénués d'élasticité, soit quand ils sont parfaitement élastiques. Il n'y a que les corps svokj qui n'aient pas d'élasticité sensible ; la plupart des

• orps durs reviennent à leur forme primitive, lorsqu ils ne sont pas brisés par le choc.

361. Dans le cas des corps mous, soit m la vitesse après le choc, laquelle est commune aux deux sphères ; la vitesse perdue par m sera v — u , et la vitesse gagnée par m' sera « — e*. Si donc ces deux corps allaient au devant l'un de l'autre avec ces vitesses r — « et v — v 1 , il faudrait, d'après le principe du n° 353, qu'ils se fissent équilibre; ce qui exige (n° 127) que les quantités de mouvement intes à ces vitesses soient égales. Bous

d'où l'on tire

pour U valeur de ti qu'il s'agissait d'obtenir.

Si ai' est en repos avant le choc , et qu'à raison de sa densité, cette masse soit extrêmement grande et comme infinie, par rapport à m, on aura sensiblement si = 0. La masse m' représentera alors un obstacle fixe ; et le corps , dénué d'élasticité, sera réduit au repos par le choc contre cet obstacle.

On appelle foret vive d'un point matériel , ou , plus généralement , d'un corps dont tous les points out la même vitesse, le produit de sa masse par le carré de cette vitesse. La somme des forces vives de m et m' est donc mv* -f> m ' v '* avanl choc , et mat' -f- m'u» après le choc. Or, il résulte de la formule (o) que la secundo somme est toujours moindre que la première ; car, sans altérer leur différence

mv* + mV> - mu* - m'u' ,

on peut en retrancher la quantité

2u (mv 4" m ' r '' — mu — m'u),

qui est nulle, en vertu de l'équation (a) ; et cette différence devient alors

qui est une quantité positive.

Il y a donc toujours perte de force vive dans le choc de deux sphères dont la matière est dénuée de toute élasticité ; et cette perte est égale, comme on voit , à la somme des forces vives dues aux vitesses v — n et w — !•', perdue et gagnée par ces deux corps. Ce résultat est un cas particulier d'un théorème général qui est dû à Carnot , et que nous démontrerons par la suite.

362. Dans la première partie du choc, c'est-àdire , jusqu'à l'instant de la plus grande compression , les deux sphères se comportent toujours de même , quel que soit leur degré d'élasticité ; en sorte que la vitesse u qu'on vient de déterminer, est toujours celle qui leur est commune ii cet instant. Pendant celte première partie, la diminution de la vilesîc de m et l'augmentât' on de relie de m'

■ont donc v — u et « — v*. Or, si ces deux sphère* sont parfaitement élastiques , m éprouvera , daua la seconde partie du «hoc, une seconde diminution de vitesse égale à la première, et, conséquemment, sa vitesse à la fin du choc sera r — 2 (v— m) ou 2 m — v. En même temps, m' éprouvera une seconde augmentation de vitesse égale mu — v' t et sa vitesse finale sera v* -f* 2 (« — r*) ou 2u — v'. Si donc on appelle V et V lea vitesses de as et m', après le choc, on aura

V = tu — », Tsa *» — 9*i

la valeur de m étant toujours donnée par la formule (n).

Eu retranchant ces vitesse* l'une de l'autre, on a

ce qui montre que dans ce choc la vitesse relative des denx mobiles change de signe et conserve la même grandeur.

Si la masse m' est regardée comme infinie, à raison de sa densité , par rapport à la masse as, et qu'on ait v' — ( l, on aura m = 0, et , par conséquent, V = — »; d'où il résulte que quand une sphère , douée d'une élasticité parfaite, vient frapper un obstacle fixe, elle est réfléchie avec une vitesse égale et contraire à celle qu'elle avait avant le choc. S'il s'agit , par exemple , d'une sphère pesante, qui tombe dans le vide , aur un plan horisontal et inébranlable, elle devra remonter à sa hauteur primitive.

La somme des forces vives sera la même avant et après le choc t ou , autrement dit , on aura

me» + m'v'* = m (2u — v)* -f- m' (2u — v')* ;

équation qui se réduit à

4u (ma + m'a — mv — m'v) = 0,

et qui est identique , en vertu de la formule (a).

Il n'y a donc aucune perte de force vive dans le choc de deux sphères parfaitement élastiques; et ce résultat, comme celni que présente le choc de deui sphères non élastiques , est compris dans un

un autre chapitre.