Si l'on supposa «' — m, on aura

2at = « + r'. V — r', V = r.

Il y a donc échange de vitesse dans le choc de deux sphères parfaitement élastiques, dont les masses sont égales; et si l'une des deux est en repos avant le choc , l'autre demeurera en repos après le choc, et la première prendra la vitesse primitive de la seconde.

Il suit de là que si l'ou a une série de billes égales en masse, et dont les centres soient rangés en ligne droite ; que la première soit seule en mouvement , et que sa vitesse, qui sera désignée par », soit dirigée suivant cette droite et du côté des autres billes ; celte première bille sera réduite au repos en

DYNAMIQUE, SECOPIDE PARTIE.

choquant In deuxième, celle-ci prendra la vitesses», avec laquelle elle ira choquer la troisième, et sera ensuite réduite au repos ; la troisième prendra la visesscv, qu'elle perdra en choquant la quatrième; et ainsi de suite, jusqu'à la dernière, qui conservera la vitesse 0. Après cette suite de chocs, toute* les billes seront donc en repos , escepté la dernière, qui se trouvera animée de la vitesse que la première avait primitivement; et comme ce résultat est indépendant de la grandeur des intervalles compris entre les billes consécutives, il est naturel d'en conclure qu'il aura encore lieu quand ces intervalles disparaîtront , et que les billes, choquées par la première , seront en contact.

Ainsi, lorsqu'une série d'un nombre quelconque de billes parfaitement élastiques , en repos , juxtaposées , égales en masse , et dont les centres sont en ligne droite , sera choquée par une autre bille élastique, égale à chacune d'elles, et en mouvement suivant la ligne des centres, celle-ci se réunira à la série qui demeurera en repos , excepté la bille placée à l'outre extrémité , laquelle se détachera seule avec la vitesse de la bille choquante : c'est, en effet, ce qu'on a souvent l'occasion de vérifier, avec des billes de billard, par exemple.

En général , les lois du choc des corps sphériqnes, mous on durs , qui sont les conséquences des hypothèses du n° 360 , ont été confirmées par de nombreuses expériences, faites sur des billes égales ou inégales, de même matière ou de matière différente , et dont les vitesses avaient eutre elles différen s rapports.

364. Le mouvement du centre de gravité d'un système de corps n'est jamais altéré par le choc ou toute autre action mutuelle des mobiles. On démontrera parla suite, dans toute sa généralité, cette importante proposition , dont on u déjà vu le cas le plus simple dans le n° 367, et qu'on peut aussi vérifier dans le choc des corps sphëriques , mous ou parfaitement élastiques.

Pour cela , soient s et au bout du temps t, les distances des centres de m et m' à un point fixe de la droite sur laquelle ila se meuvent. Soit aussi, à cet instant, s, la dislance au même point du centre de gravité de m et m' ; nous aurons (n« 66)

(m -f m') s, = mx + mV.

ci*, dx dx

("» + »•) - = - ~ + «' -i (*) dt dt dt

dx,

équation qui fora connaître la vitesse — du cen-

tre de gravité , correspondante aux vitesses des deux sphères. Or, avant le choc, on a

dx dx' dt dt

dx, mv -f m'r* ~dï ~ m + m' •

Après le choc, on a

dx dx'

dt dt dans le cas des corps mous , et

dx dx 1

dt dt

dans le cas des corps élastiques. En substitusnt successivement ces valeurs dans l'équation (*), et

ayant égard à l'équation (a), on en déduit — = m

dans les deux cas; ce qui est la même valeur qu'avant le choc, en vertu de cette équation (a). Pur conséquent , le choc de deux sphères ne change rien au mouvement de leur centre de gravité.

Comme la vitesse de ce point est toujours la somme des quantités de mouvement des corps, divisée par la somme de leurs masses, cela revient à dire que dans le choc de deux corps sphériques , mous ou élastiques , la somme des quantités de mouvement ne change pas , en ayant égard , dans cette somme, aux signes des vitesses.

Si la vitesse r' de «m' est nulle, et que cette masse soit très petite par rapport à m, la quantité de mouvement imprimée à m' et enlevée à m, sera , à très peu près, mv ou 2m r , selon que ces corps seront dénués d'élasticité ou parfaitement élastiques.

366. Jusqu'à présent, 00 a assimilé la résistance des fluides à une suite de chocs du mobile contre les molécules du milieu qu'il traverse; quoi, que, selon mot , la théorie de la résistance fondée sur cette considération doive être abandonnée , il est bon, cependant, de l'expliquer ici en peu de mots.

Supposons que le mobile soit un cylindre droit qui se meut dans le sens de sa longueur. Soit • l'aire de sa base, perpendiculaire à cette dinien-

la masse du mobile, et » la densité du fluide , liquide ou aériforme , dans lequel il se meut. Au bout du temps i f appelons v sa vitesse, et m la distance de sa base antérieure à un point fixe, pris sur la perpendiculaire à ce plan , de sorte qu'on ait dx = vdt. Dans l'iustant dt , cette base parcourra l'espace dx ; le mobile frappera donc tous les points matériels du fluide , compris dans une tranche dont la base est « , la hauteur dx , et U masse fmdx. Or, on considère tous ces points comme isolés et n'ayant aucune action sur le fluide environnant; et, dans cette hypothèse, ou prend pour la diminution de lu quantité de mouvement épron-

vée par le mobile pendant cet instant dt , le produit de sa vitesse v et de la niasse frappée f*dx, ou le double de ce produit , selon que Ton compare ce choc à celui des corps dénués de toute élasticité, •iu qu'on l'assimile au choc des corps parfaitement élastiques. La première valeur Tfiêdx est celle qui s'écarto le moins de l'expérience ; en l'adoptant donc , et observant que mdv éprouve la variation de la quantité de mouvement de la masse s», dans l'instant*, nous aurons

mdv = — Tf*dx ;

et en mettant pour dx sa valeur vit , et divisant par*, il en résulte

pour la force motrice provenant de la résistance exercée sur une surface platie , perpendiculaire a la direction du mouvement.

Cette résistance est , comme on voit , proportionnelle à la densité du fluide , a la surface sur laquelle elle s'exerce , et au carré de la vitesse du mobile. En appelant h la hauteur due à celte vitesse , et g la gravité , c'est-à-dire , en faisant e» = 2aA, sa valeur devient 2af«A; en sorte qu'elle est égale au poids d'un cylindre du fluide qui aurait pour base la surface perpendiculaire a la direction de la vitesse , et pour hauteur le double de celle dont un corps pesant devrait tomber dans le vide , pour acquérir cette même vitesse.

Si la direction du mouvement n'est pas perpendiculaire à la surface plane qui éprouve la résistance, on décompose la vitesse du mobile eu deux autres, l'une perpendiculaire , et l'autre parallèle à ce plan ; ou suppose que la vitesse parallèle ne donne lieu qu'à un frottement dont on fait abstraction , et que la résistance proprement dite est la même que si la vitesse normale existait seule : c'est pourquoi l'on substitue cette composante à la vitesse r dans la valeur précédente de la résistance, qui devient alors »*.r>» cos » t§ s étant l'angle que fait la normale à la surface m, avec ta direction de la vitesse ».

366. En admettant ce résultat , et l'étendant aux élémens infiuiment petits des surfaces courbes , on en conclut, par le calcul intégral , la résistance éprouvée par un corps solide de forme quelconque.

Pour plus de simplicité, supposons qu'il s'agisse d'un solide de révolution , dont tous les points décrivent, avec la vitesse », dis parallèles à son axe de figure. Soient AB cet axe ( fig. 86}, et AHB ta courbe génératrice ; prenons cet axe pour celui des abscisses ; et appelons s et y l'abscisse CP et l'ordonnée PM d'un point quelconque M de cette courbe. Supposons que la plus grande section du solide, perpendiculaire à l'axe de figure , soit celle qui répond au point C, origine des coordonnées, et que CD soit , en conséquence , lu plus grande

ordonnée de la courbe AHB. Le mouvement ayant lieu de B vert A, la portion de la surface qui éprouvera la résistance du milieu sera celle qui répond k la partie DMA de cette courbe. Soit dt l'élément différentiel de cette courbe au point quelconque M ;

pour le cosinus de l'angle que la normule en ce point, fait avec l'axe des s, c'est-à-dire, avec la direction du mouvement ; et cet angle sera le même dans toute l'étendue de la xone engendrée par dt ta tournant autour de AB , dont la surface est Zrydt. Chacun des élémens plans de cette xone éprouvera donc une résistance normale qui sera égale au produit de cet élément , multiplié par •»» cos* ». En décomposant cette force en deux autres, I' une perpendiculaire et l'autre parallèle à Taxe AB, il est évident que les composâmes perpendiculaires à AB se détruiront deux à deux ; d'ailleurs, chaque cornposante parallèle à AB aura pour valeur la résistance normale à la xone, multipliée par cos s"; par conséquent, la somme de ces composantes, pour la xone entière , sera égale au produit de la surface

Zwyds, detr» cos s, et de cos s', ou ù 2»»»« y

dt*

d'après la valeur de cos s*.

U suit de là qu'en appelant R la résistance totale éprouvée par le solide en sens contraire de ton mouvement, et faisant CA = a, nous aurons

pour la valeur de cette force motrice.

Si le mobile est une sphère, le point C sera son centre , et a son rayon. En désignant par I l'angle MCA, on aura

y ss a sin I, ay = « cos Ml, dt sa aafl ; et il en résultera

R = 3* r p. 0 «y . * cosi I sin Ml = -)- ffa t vt .

ce qui montre que la résistance éprouvée par une sphère est la moitié de celle qui aurait lieu sur le cylindre circonscrit, dont ma* serait la base perpendiculaire à la direction du mouvement.

367. C'est à Newton qu'est dû ce premier essai sur la résistance des fluides; et c'est lui qui a déterminé , le premier, le mouvement des corps soumis à une force dépendante de leur vitesse. En comparant le résultat de son calcul au temps observé de la chute d'une sphère qui tombe dans l'air, d'une grande hauteur, il a reconnu qu'il faudrait, pour accorder l'un avec l'autre , réduire à moitié la valeur précédente de R.

DYNAMIQUE, SECONDK PARTIE.

cette valeur doit être se u i; ce qui

En appelant D la densité delà sphère, ta ilBpl ; et ai l'on divise R par oetl appelle a la force accélératrice qui en

ce qui est , effectivement , l expression de la résistance qne les auteurs de Balistique ont adoptée le plus généralement, et i le n<> 216.

En ter lu de la formule (e), la solide de révolution qui éprouve la moindre résistance , consiste à trouver la courbe génératrice de

àf

est

»; problème qu'on résoudra sans difficulté par les règles du calcul des variations, et dont Newton a donné la solution avant que d'autres géo-

mais sans indiquer la méthode qu'il a

Cette théorie de la résistance repose , comme on Ta vu , sur une comparaison vague de l'action dn fluide au choc des corps, et sur la supposition inadmissible que, dans ce choc, les molécules du fluide agissent isolément sur le mobile et nullement Tune sur l'autre. Elle est démentie par l'observation , quant à la grandeur absolue qna le calcul donne à peu près double de celle qui résulterait de l'expérience ; elle l'est aussi par rapport è la loi de la résistance en fonction de la vitesse, qui serait toujours proportionnelle au carré delà vitesse, suivant cette théorie, tandis qu'il résulte du décroissement observé des amplitudes, dans les très petites oscillations du pendule (n<> 187), que cette

tites vitesses. La résistanœ qu'un fluide, liquide ou aériforme, oppose au mouvement d'un corps solide, se compose d'un frottement contre la surface, et de la résultante des pressions que ce fluide exerce sur cette surface tout entière. Pour déterminer convenablement cette seconde partie , qui est la résistance proprement dite , il faut considérera la fois les mouvement du corps et du fluide , comme je l'ai fait dans le mémoire déjà cité (no 191). Cette force peut être différente dans le mouvement oscillatoire et dans le mouvement progressif , dans les liquides et dans les gat ; et, dans ceux-ci , elle peut dépendre de leur I et non pas seulement de leur densité; ce « important à vérifier par l'expéri

CIÏAPITRE II.

DETERMINATION DFS MOMBNS DINERT1E ET DES AXES PRINCIPAUX.

368. Dans les chapitres ■«<•«, rerons les diflerens cas du mouvement d'un corps solide. Pour former les équations de son raouvel , nous le diviserons en parties insensibles , i de grandeur finie, comprenant néanmoins des > immenses de molécules. Quoique ce corps soit formé de molécules disjointes, les sommes relatives a ses psrties insensibles pourront être changées, sans erreur appréciable, en intégrales définies , comme dans le no 08 ; et , dans tout ce qui va suivre , on pourra traiter les parties dont il •'agit*

Les intégrales définies que les équations du mouvement renfermeront seront an nombre de neuf, savoir :

Jxdm, Jydm, f -dm, Jitjdm, f : idm , fytdm, fs* d», ff* dm, fs* dm;

dm étant l'élément différentiel de la messe , qui répond aux trois coordonnées rectangulaires s, y, a, et les intégrales s'étendant a la masse entière du

centre de gravité; et si l'on appelle *i , y» » *> t aea trois coordonnées, on aura (n° 91)

fxdm = Hx, , fydm = My, , fzdm = M*> }

ice. intégralei sera nulle,

lorsqu'on données.

Quelle que soit cette origine , on prouvera plut

• qu'on ait

fxydm = 0, fixdm = 0, fysdm = 0.

Les trois axes rectangulaires des s, y, m, qui font ainsi disparaître ce* trois intégrales, s'appellent des axe a principaux.

Quant aux trois dernières des neufint on les exprimera au moyen de trois autres que t représentons par A, B, C, et qui seront

d'où l'on tire

t/nAisA + l-C 2/y dm = C + A - B, 2/ir» des = B + C - A.

On appelle, en général, moment d inertie d'un corps par rapporta une droite quelconque, la somme des élémens de sa masse , multipliés par les carrés de leurs distancra à cette droite. Ainsi, A , B,C, seront les momensd'inertic du mobile par rapport aux axes des or , y , s ; car, par exemple , y* -f- s» est le carré de la distance de- dm à l'axe des*. Lorsque ces droites seront des axes principaux, noua appellerons A , B , C , des momeii6 d'inertie princi-

Le centre de gravité et les oses principaux ont l'avantage du simplifier les équations du mouvement , en faisant disparaître une partie de leurs termes, quand on les prend ponr origine et pour axe* des coordonnées; ils jouissent, en outre, de propriétés très importantes dans la Dynamique, ainsi qu'on le verra par lu suite.

369. La détermination des momens d'inertie est un problème de cnlcul intégral , que l'on résoudra toujours exactement ou par la méthode des quadratures.

L'exemple le plus simple est le calcul du i d'inertie d'un parallélipipède rectangle et 1 gène, par rapporta l'une de ses arêtes. Prenons trois de ses arêtes adjacentes pour axes des x, y, %, et désignons par <», b t e, leurs longueurs; puis divisons chacune de ces trois droites en une infinité de parties infiniment petites. En menant par tous les points de division, des plans parallèles aux faces du parallélipipède, on aura trois séries de plans qui le partageront eu élémens infiniment petits dans leurs trois dimensions. Le volume de l'élément qui répond aux trois coordonnées *, y, s, sera évidemment dsdyds ; on aura donc pour sa

dm = fdx dy d» ;

f étant la densité du parallélipipède, que l'on suppose constante. Par conséquent, le moment d'inertie C , par rapport à l'arête qu'on a prise pour axe des s, et dont la longueur est e, sera

C — tfffi x» + *» ) dx dy ds.

On étendra cette intégrale triple i tous les élémens du parallélipipède donné, en intégrant, dans un ordre quelconque , depuis x = 0, y =0, s=0 t jusqu'à x = «, y ==*, * = c,- ce qui donne, sans au

/a 5 le ab s e\

M étant la masse du corps,

B S=fM(c + «• ), A =iM (•• + «.),

pour les momenè d'inertie du même corps, par rapport aux arêtes dont les longueurs sont bel a.

370. Pour second exemple, calculons le moment d'inertie d'un ellipsoïde homogène par rapport a l'un de ses trois axes de figure.

L'équation de sa surface

en désignant par 2a , 2b, 2e , les longueurs de ses trois diamètres principaux , que l'on prend pour axes des s, y, s. Son moment d'inertie, par rapport à l'axe des s , sera exprimé par la même intégrale triple que dans le problème précédent; la constante fêtant toujours la densité du corps. Pour obtenir cette intégrale triple, qui doit être étendue à la masse entière de l'ellipsoïde , j'intégrerai d'abord par rapport à s, en regardant x et y comme des constantes; ensuite, par rapport à y, en continuant de regarder x comme constante , et , enfin, par rapport à x. On peut suivre l'ordre qu'on veut dans ces trois intégrations successives ; celui que je choisis revient à concevoir l'ellipsoïde partagé en une infinité de tranches elliptiques, parallèles au plan des y et s ; chaque tranche partagée de même eu une infinité de paraJlélipipèdes parallèles à l'axe des s , et terminés à la surface ; et chaque

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

parallélipipéde en élément infiniment petits dans leurs trois dimensions. Les limites de l'intégrale relatif e à s seront les deux valeurs de cette variable qui sont données par l'équation (a) ; cette intégrale définie exprimera , en fonction de x et y, le moment d'inertie de l'un quelconque des paralléiipipèdes. L'intégrale relative a y aura pour limites les deux valeurs de cette variable , qui répondent à la même valeur de s , dans l'équation do la section de l'ellipsoïde par le plan des * et y ; elle exprimera le moment d'inertie de la tranche parallèle ou plan y et s , qui se trouve à la distance m

de ce phn. Enfin , l'intégrale relative a * sera prise depuis x — — a jusqu'à * = a , et elle exprimera le moment d'inertie de l'ellipsoïde entier.

En intégrant par rapport à s , il vient

( s» -f" y* ) s <x# dy 4* constante. Les deux limites données par l'équation (o) sont

2fCM n \/ X -ff-'-î- dm * + 2,.y» {/'x - ff - ~ d*dy.

Si Ton fait pour abréger,

l'intégrale relative à y de la première partie de la

2fex» dm

L'équutionde la section de l'ellipsoïde parle plan

des * et y , savoir :

donne y = ± r pour les deux limites de l'intégrale relative à y ; et , comme on a

/ r l/.-y.dy = 7 ~,

il en résulte , en remettant ponr r» sa valeur,

En intégrant par rapport à s depuis m = — a jusqu'à * = a, on aura donc

change-

nouveaux calculs, et par de si s de lettres, on

niéres intégrales , aura pour voleur

On obtiendra de même les momens d'inertie B et A par rapport aux axes des y et des x. La masse de l'ellipsoïde étant M , on aura , d'après son vo-

(no89)

4*7 aie

et les trois momens d'inertie, par rapport aux die- 2o, 2b ,2c, seront

par conséquent , le moment d'inertie C par rapport à l'axe des * , qui est la somme de ces deux der-

Ces diamètres sont les trois axes principaux du dent au plus petit et au pins grand des trois il ia mûcorps , qui se coupent à son centre de gravité ; car très , ce qui est d'ailleurs évident, par la définitiou en les prenant pour axes x , y, « , les trois intégra- des momens d'inertie.

les /ryd«, fudm ,/ysd» , étendues à l'ellipsoïde 371. Dan , , e cai d'une sphère , on a a = I = c,

entier, sont xéro, puisque chacune d'elles se com- le , ^ roorDens d'inertie deviennent égaux entn-

pose d'élémens qui sont, deux à deux, égaux et de g,

signe contraire. eux % e t f0n t exprimés par — po*. Si le rayon a aug-

On voit que parmi les trois quantités A, B, C, la lfi

1 et la pins petite sont celles qui répon- mente d'un infiniment petit, et se change en a+dn,

TRAITÉ DE 1ECAMQTJE.

d'inertie de la iphère , savoir . — (a±da, exprimera

. le moment d'inertie de la couche sphérique , dont Ici rayons intérieur et extérieur sont a eto -f da. Miiintenant , supposons que la sphère ne soit pas homogène , mais qu'elle soit seulement composée de couches concentriques et homogènes, de manière qu'en appelant r le rayon d'une couche quelconque, la densité p soit une fonction donnée de r. Pour avoir le moment d'inertie de la sphère entière, il faudra intégrer celui de cette couche

8ir

quelconque , savoir, — f ndr , par rapport à r, et

étendre l'intégrale au rayon entier de la sphère ; donc , en désignant ce rayon par c, on aura

le Si on

d'inertie demandé.

à celui d'une sphère homogène

du même rayon , et dont la densité soit égale a la densité moyenne de celle que l'on considère , il est aisé de voir qu'il devra être, par la définition des momens d'inertie, et qu'il sera effectivement, d'après son expression, plus grand ou plus petit, selon que la densité f croîtra ou décroîtra continuellement du centre ù la surface.

372. Le calcul du moment d'inertie d'un corps homogène, terminé par une surface de révolution, se réduit à une seule intégration dépendante de la courbe génératrice , quand on le prend par rapport à l'aie de figure. On décomposera alors le solide en anneaux circulaires, d'une épaisseur et d'une largeur infiniment petites, dont chacun ait son

tre dans l'axe, et soit compris, d'une part , entre deux plans perpendiculaires à l'axe, et d'une autre part, entre deux surfaces cylindriques, dont cette droite sera l'axe commun. En appelant r le rayon de la surface intérieure . r + dr celui de la surface i, et di l i distance des deux plans, le i d'un anneau sera w (r -f- dr >dx — *r>dx, ou 2*rdrdx , en négligeant le terme infiniment petit du troisième ordre. Sa masse sera donc 2*frdrdx i en désignant par f la densité du corps ; et comme tous les points de cet anneau sont à la même distance r de l'axe de figure , le produit Zir^drdx, de cette masse et de n, exprimera son moment d'inertie par rapport à cet axe. Doue ai cet axe et la courbe génératrice sont la droite AB et la ligne AMB (fig.86), et qu'on fasse

AP = », PM = y,

on aura le moment d'inertie de la tranche infini ment mince du solide de révolution, perpendiculaire à AB et correspondante au point P, en intégrant 2wfr» drdx depuis r = 0 jusqu'à re= y, ce qui i ~ * f yi dx. Donc aussi, si l'on désigne par I

1* longueur de l'axe AB, et par p le i nertie du solide entier, on obtiendra la valeur de /» en intégrant cette différentielle — «-ry* dx , depuis * = 0 jusqu'à * = l, et il en résultera

1 ni

Si l'on désigne par « et C des valeurs donnéesdex telles que l'on ait « < C et C < J, il suffira d'intégrer depuis * = • jusqu'à • m C, pour avoir le moment d'inertie de la tranche du solide comprise entro les deux plans perpendiculaires à l'axe, dont • et C sont les distances au point A. Si ce corps est un solide creux , compris entre deux surfaces de révolution qui ont le même axe AB , on aura son moment d'inertie, en regardant ce corps comme la différence de deux solides de révolution , dont on retranchera , l'un de l'autre , les momens d'inertie relatifs à l'axe commun. Enfin , si l'on de-

de révolution , comprise entre deux plans menés par l'axe de figure , il est évident que ce moment , par rapport à cet axe , serait à celui du solide en tier comme l'angle des deux plans est à quatre angles droits.

373. En prenantlademi-circonférenced'un cercle pour la génératrice A1B , et désignant le rayon par o, on aura

pour la valeur de y* qu'il faudra substituer dans la formule [b] ; et si l'on demande le moment d'inertie du segment sphérique dont la flèche est », pria par rapport au diamètre perpendiculaire à sa base, il faudra intégrer , dans cette formule , depuis s = 0 jusqu'à m = ce qui donne

Dans le ras de la sphère entière , on fera m = f a ,

ment.

Si la génératrice est une droite passant par le point A , et qui fasse , avec l'axe AB , un angle dont la tangente soitl,i

dan. l'équation (»), et

= «jusqu'à x — C; il

Celte valeur sera celle du motut-iit d'inertie d'un cône tronqué , pris par rapport à son axe de figure. En appelant a et 6 les rayons de se* deux bases, et h sa hauteur, nous aurons

U = a, iC == *, C — • SB *;