PARTIE

de m

Dans le cas d'un cône entier , on fera b — 0; et

par rapporté un ne passant par le centre de gravité , on en conclut aisément le moment d'inertie du mémo corps , rapporté à tout autre aie parallèle au premier.

En effet , plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité, et prenons le premier axe pour celui des s. Soient * et C les oordonnées du point où le second axe coupe le plan des * et y , auquel ce second aie est aussi perpendiculaire. Désignons par a la distance du centre de gravité au second axe; par r la distance d'un élément quelconque dm du corps au premier axe ; par r' la distance du même point matériel au second axe. Le moment d'inertie connu sera fr* dm, et celui qu'on demande sera fr » dm; ces intégrales s'étendant à la masse entière du solide. Or ,

r'» = (m - •)» -|- (y -, C)» == *• + y» — 2*x - 2Cy + +

Quand le cône tronqué se changera en un cylindre, on fera b = o; et la masse étant toujours M , il en résultera

en multipliant par dm , intégrant et observant que *» + yi = I* , •> + Cs B ai ,

f^dm = fr»dm — 2mfsdm — 2Cfydm + a'/d,

mais les intégrales fxdm et /y dm sont nulles , à cause que le centre de gravité est sur l'axe des a (u° 368); de plus, fdm est la masse entière du corps, que je représenterai par H ; par conséquent , l'équation précédeute se réduit à

/>'• dm = /r» dm + Mo* .

Ainsi l'on aura le moment d'inertie demandé, en ajoutant à celui qui est donné la masse du corps , multipliée par le carré de la distance du centre de gravité au nouvel axe.

D'après cette règle , on aura immédiatement le moment d'inertie d'une sphère homogène ou

un axe quelconque, puisque ce moment est connu par rapport à tous les oxes passant par le centre de figure , qui est aussi le centre de gravité.

Dans un corps quelconque , le moment d'inertie par rapport u un axe passant par son centre de gravité, sera plus petit que par rapport k tout autre axe parallèle à celui-là. Les moment d'inertie d'un même corps seront égaux , par rapport à tous les axes parallèles entre eux , et également lu centre de gravité : leur

mune augmentera à mesure qu'ils s'éloigneront de ce point.

37S. Non seulement le moment d'inertie d'un corps varie avec la position absolue de l'axe auquel on le rapporte , mais il change aussi avec la direction de celte droite. Pour montrer comment celte direction influe sur la grandeur du moment d'inertie d'un corps quelconque, proposons-nous de trouver celui de la masse ■ par rapport à un aie mené par l'origine des coordonnées , et qui fasse avec les axes des *, y, s, les trois angles donnés

*' Soient p la perpendiculaire abaissée de l'élément dm sur le nouvel axe, D la distance de ce point matériel à l'origine des coordonnées, t l'angle compris entre la ligne D elle nouvel axe. Les coordonnées de dm étaut jr, y, a, les cosinus des angles que fait la direction de son rayon vecteur D

avec les axes de ces coordonnées, seront—,—,—;

cos t = — D

» -f- — cos C -f- — cos y. D D

D'ailleurs, on a p = D sin l,

p» = D» — (D cos *)»

en sobtituant donc pour D cos S la formule précédente, multipliée por D, et mettant a» 4-y» s» au lieu de D' , il en résultera

d'où l'on conclut

p* = x> si ii* • -|- y» sin* C -{- a* sin» y \ — 2xy cos « cos C — 2*3 cos • cos y — 2ya cos C cos y;

fp* dm = sin» «. fs* dm + sin» C. /y> dm + sin' y. /s» dm

— 2 <-os « cos C. fxydm — 2 cos * <os y. fssdm

— 2 cos C cos y. fyxdm.

d'inertie fp* dm, relatif à un axe de direction et passant par l'origine des coordonnées, quand on connaîtra les six intégrales/*» dm.ff dm, f" dmjxydmj^dmjyxdm, étendues àla «nasse

entière du corps , et relatives aux axes de» coordonnées. Si ces trois droites sont des axes principaux, les trois dernières intégrales seront nulles (n° 368), et la formule précédente se réduira à

sin» m. fs* dm + sin» C. fy* dm -f. sin* y, fi* dm.

Hais, en vertu de l'équation

cos» » + cos» C -J- cos» y

sin» • = cos» C -f. cos» y , sin 1 C = cos* y -f- cos» «, sin' y es cos' « -j- cos' C ,

ce qui change la voleur de fp* dm en celle-ci : fp* dm = (/y» dm + /s» dm) COS' m. , + (/**«*» + fx*dm) cos»C, + {fs*dm + fy* dm) coVy;

donc en réunissant chaque couple d'intégrales en une seule, et désignant par A, B, C, comme dans le n» 368, les momens d'inertie par rapport aux aies des *,y, s, nous aurons finalement

fp* dm = A co». • -f- B cos' C + C cos» y. (c)

Ainsi, il suffira do connaître les trois momens d'inertie relatifs aux trois axes principaux qui se coupent en un point donné, pour en conclure immédiatement le moment d'inertie correspondant à un axe quelconque , passant par ce point; et en combinant ce résultat avec celui du numéro précédent, on voit que le calcul de tous les momens d'inertie d'uu même corps se réduira ù déterminer les trois momens d'inertie principaux qui répondent à sou centre de gravité. Ayant calculé, par exemple (n° 370), les voleurs «Je ces trois momens d'inertie, dans le cas de l'ellipsoïde homogène, nous pouvons regarder comme connu le moment d'inertie de ce corps, pur rapport à un axe quelconque.

376. Le plus grand et le plus petit des trois momens d'inertie principaux A, B, C, qui entrent dans la formule (c), sont aussi le plus grand et le plus petit de tous les momens d'inertie du même corps, par rapport aux axespassaut par l'origine de»

Soit, en effet, A la plus grande des trois quantités A, B, C; en mettant 1 — cos » C — cos » y a la place de cos » • duns l'équation (c), on aura

fp* dm = A - ( A — B) cos» C — (A — C) cos» y;

d'où l'on conclut que fp* dm est moindre que A, quels que soient les angles Cet y. De même, C étant la plus petite des trois quantités A, B, C, si l'on met l'équation (c) sous la forme

Jp> d« = C + (A - C) cos. . + (A - B) cos» C ,

on voit qu'on a constamment fp* dm> C.

Dans le cas particulier où les trois quantités A,

B, C, sont égales, on a ausssi fp* »« — j», soit la direction de l'axe auquel le moment d'inertie/p' dm est rapporté; donc alors les momens d'inertie sont égaux par rapport à tous les axes passant par l'origine des coordonnées. Ce cas est celui de la sphère homogène ou composée de couches concentriques, lorsque l'origine des coordonnées est placée a son centre ; il a également lien pour le cube, l'octaèdre régulier et d'autres corps homogènes , dont les trois momens d'inertie principaux ne peuvent différer entre eux, en plaçant tou-

gure.

Si l'on a duiraa

A = B, l'équation (c) se ré-

Jp* dm = A sin» y + C cos» y ;

et cette valeur de fp* dm étant indépendante des angles a et C, le momeut d'inertie sera le même par rapporta tous les axes menés par l'origine des coordonnées, qui font un même angle y avec l'axe des s. Ce cas est celui d'un solide de révolution homogène, quand cette droite est son axe de figure.

D'après ce qu'on a déjà vu dans le n» 374, nous pouvons dire maintenant que le plus petit de tous les momens d'inertie qu'un même corps puisse avoir, répond à l'un des trois axes principaux qui se coupent à son centre de gravité. Ainsi, par exemple, le plus petit de tous les momens d'inertie d'un ellipsoïde homogène , se rapporte au plus grand de ses trois diamètres conjugués rectangulaires.

377. Nous allons actuellement démontrer l'existence des axes principaux que nous avons supposée jusqu'à présent, et déterminer leur direction pour chaque point d'un corps de forme quelconque; mais, pour cela , il est nécessaire de rappeler les formules générales de la transformation des données, dont nous aurons besoin, d'ailleurs, i d'autres occasions.

Soient s, y, s, les trois quelconque H, rapportées aux Ox, Oy, Oj, (fig.87 ). Désignons par x n y„ » tt les coordonuées du même point, ayant la même origine, cl rapportées aux trois axes 0x„ Oy,, 0s ( , qui sent aussi perpendiculaires entre eux. Du point X, abaissons des perpendiculaires Mi> et 31 K sur l'axe Ox et sur le plan des *, et y„ et du point K, une perpendiculaire KH sur l'axe 0* ; en sorte qu'on ait

0P = x, OM^r,, KH = y„ HK := x c

DYKA1

SECONDE PARTIE

La projection sur l'aie 0*, de la ligne brisée MkHO, sera OP ; les projections de ses parties OH, U, seront égales à ces droites , multipliées par les cosinus des angles que les axes des *n Vn *n font l'axe Ox; en en faisant la naura "

• as x, «M xOx, + y, cos xOy, + t( C os xOa ( .

La figure suppose ces trois angles aigus , et les trois coordonnées x„ y„ s ( , positives ; auquel cas leors projections tombent sur la direction même do Ox, et doivent s'ajouter en grandeur absolue; maia il est facile de s'assurer que cette équation subsistera dans tous les cas, en ayant égard aux signes des coordonnées r„ y„ *„ des cosinus, et de l'abscisse x. Par exemple, on verra aisément que si l'abscisse x, est négative, et l'angle xOx ( aigu, ou bien, si cette abscisse est positive, et cet angle obtus, la projection de OH tombera sor le prolongement de Ox, et la valeur absolue de cette projection devra être retranchée ; et l'on verra , au contraire, qu'elle devra être ajoutée, quand cette abscisse x, sera négative , et qu'en même temps l'angle xOx, sera obtus ; ce qui s'accorde, dans les deux cas, avec le signe du produit * ( cos xOx r

On verra de même que les projections de la ligne brisée ULHO sur les axes t'y et Os, ou sur leurs prolongemens, sont toujours égales a y et s. Cela étant, si

nous aurons

* = ax i + h,< + es,, y = «'x, + 4y, + c'a, , M = a"*, + b"y, + c"*,.

cos xOx, = a, cos xOy, = 4, cos *0s, = c, cos yOx, = a', cos yOy, = b', cos y 0 j, = e', cos sOx, = a", cos *0y, = b", cos aO», = c",

<*•+*.+ c. = 1, aa '

+ J»i + c '. — \ f m pi

La comparaison de ces formules avec celles du n° 277 montre clairement l'analogie qui existe entre les projections des lignes droites et celles des surfaces planes, d'où résulte l'identité de la composition des forces représentées par des portions de droites, avec la composition des momens représentés par des aires planes.

378. Dans la transformation des coordonnées, on devra donc considérer six des neuf coefficiens «, 6, etc., comme des fonctions des trois autres, déterminées soit par les équations (2), soit par les équations (4) ; mais il vaudra mieux exprimer ces neuf coefficiens, au moyen de trois nouvelles quantités , par des formules qui satisferont aux équations (2) ou (4).

Pour cela, supposons que la droite NON' (Gg. 88) soit l'intersection du plan des x, et y, avec le plan des m et y; et faisons

«Ox = 4, NOx, = a , ZOa, = t :

ces trois angles 4 > • » • » détermineront , sans arabiguité , U position des axes des x„ y„ a ( , par rapport

Ces neufs cosinus a,4, etc., sont liés entre eux par six équations, savoir:

a> + o" + o"» = I, sj| + ab' + o"4" = 0, ) 4. + 6'. + 4». = , , ac + flV + oV , = 0> ( .

c« + c'. + c". = 1 , be + 4 V + |V = 0. \

La première, par exemple , résulte de ce que a, o', o", sont les cosinus des angles que fait une même droite Ox, avec les trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oa; et la quatrième, de ce que cette droite Ox «t la ligne Oy ( ,à laquelle répondent les cosinus* 4, 4", sont perpendiculaires l'une à l'autre. On obtient aussi ces six équations en substituant I. s valeurs dex, y, s, dans l'équation

+ r + *• = av + y, + a,. ,

dont les deux membres sont le carré de OM, et qui doit être identique.

En ayant égard aux équations (2), les équations (1) donnent, réciproquement,

», as as + n'y + a" s , Vl = bx + b'y + 4", , a, = ex + c'y + c' a ; )

et l'on peut remplacer les équations ( 2 ) Dar celles-ci : ' V

+ 44' + ce' = 0, + 44" + ce' = 0, + 4'4" + c'e" = 0.

à ceux des s, y, s, pourvu que Pou convienne préalablementdu sens dans lequel cesongles seront comptés. Pour plus de commodité, je supposerai que le plan des s et y soit horixontal, et que l'axe vertical des s positives soit dirigé dans le sens de la pesanteur.

L'angle I s'étendra depuis xéro jusqu'à 180»; selon qu'il sera aigu ou obtus, l'axe Oa, sera situé au dessous ou au-dessus du plan des x et y : pour I — o, O*, coïncidera avec Oa, et pour » = 180», Os, tombera sur le prolongement de Oa.

Dans le mouvement d'un corps solide autour du point O , les oxes Ox„ 0y ( , Os t , seront des droites fixes dans son intérieur et mobiles avec lui, et les axes Ox, Oy, Oa, seront des droites fixes dans l'espace. Il pourra alors arriver que les angles 4 et a soient positifs ou négatifs, et qu'ils comprennent une ou plusieurs circonférences ; mais, a un instant quelconque, on aura toujours

+ = •«* + «, * = 2.V + t>, en désignant par u et s des nombres entiers, positifs

ou négatif* , ou xéro, el par «et » des vnriablei positives et moindre» que 2«. Or, l'angle u sera compté, h partir de la droite 0*, dans le sens indiqué par la flèche t; de aorte que , par exemple , la droite ON coïncidera avec 0* pour « = o, arec le prolongement de Oy pour « — 90», avec celui de 0* pour « — 180-, et arec Oy pour « = 270». L'angle v sera compté , à partir de ON , au-dessus du plan des * et y , de manière que l'axe 0*, se trouvera au-dessus de ce plan , quand v sera moindre que 180», et audessous quand cet angle surpassera 180». Pour *=0, Taxe 0* , coïncidera avec la droite ON , et pour v = 180° , avec le prolongement ON' de ON. Dana tous les cas , l'angle I , aigu ou obtus , sera l'angle dièdre dont l'arête est ON , et dont les faces sont les angles NOx el NOx, , réduits à leurs parties u el e. La figure suppose que le* trois angles ♦»,»,», «©«ont aigus.

Cela posé , lorsque l'angle 4 sera donné , on portera sa partie* sur le plan horiiontal, à partir de l'axe 0*, et dans le sens de la flèche a j ce qui déterminera la position de la droite ON. L'angle e étant aussi donné, on portera d'abord sa partie «sur le plan horiiontal , à partir de la droite ON , et dans le sens de la flèche **, c'est-à-dire , en sens contraire de ensuite, on fera tourner le plan de l'angle • autour de ON , de manière que la partie de ; adjacente a ON s'élève au-dessus du plan horiiontal. Quand ce plan aura décrit l'angle donné • , l'autre côté de l'angle a sera la véritable position de l'axe 0* , au-dessus ou au-dessous du plan horiiontal, suivant qu'on aura v < 180» ou v > 180». En aug • mentant, dans son plan, l'angle u de 90°, on aura la position de l'axo Oy,; et après avoir mené une perpendiculaire à ce plan, on prendra pour Ox, la partie de cette droite , comprise au-dessous ou audessus dn plan horixontal, selon que l'angle • sera oigu on obtus.

Les trois axes 0*,, Oy„ Os,, étant ainsi complètement déterminés par rapport aux axes 0*, Oy, Ox, au moyen des angles 4 , t , • , il f«ul que »es »è« f cosinus o, 6, etc., soient des fonctions de ces trois

, on a

cos • sin 4 sin • + cos 4 «* •>

cos • sin 4 cos * — cos 4 sin a, : sin • sin 4i

cos t cos 4 sin ♦ — » in 4 c0 » •>

cos I cos 4 cos | + sin 4 sin a, ^ (5)

cos • cos 4 »

: - sin I sin a ,

— sin • cos ■ ,

cos

On vérifie aisément que ces valeurs de a , b , etc., reudent identiques les équations (3) et (4) , et qu'il n'en résulte aucune relation entre les angles 4- •) 379. Quoique ces formules (5) soient générale-

ment connues, il ne sera pas il manière suivante d'y parvenir.

On sait que a. C, y , étant les tmis angles d'un triangle sphérique quelconque , et A l'angle opposé au côté on a

cos m = cos A siu C sin y + cos C cos y.

Or, si nous imaginons unesphère décrite du point O comme centre, et d'un rayon quelconque, nous aurons d'abord sur cette surface un triangle formé par les trois arcs qui répondent aux angles NOx, N0x„ **0x„ dans lequel l'angle opposé au dernier côté sera égal à I; donc, à cause de NOx = 4 «' NOx,=t, on aura

cos xOx, = a = cos • sin 4 *>" • + c01 4 co *

Cette équation ayant lieu pour des valeurs quelconques de e et 4, on peut supposer que a devienne s 4- 90°; alors, l'axe 0», prendra la place de Oy„ l'angle rOt t deviendra xOy„ et l'on aura

cos xOy ( = b as cos i sin 4 cos » — cos 4 •'"> *>.

De même, en mettant 4 + 90° à la place de 4, dana l'équation précédente, l'axe 0* ne changera dana Taxe Oy, et l'angle xOx, deviendra yOx, ; de sorte que l'on aura

cos yOx, — a' = cos I cos 4 »' n • — 4 004 ••

Et si l'on met à la fois dans cette équation précédente 4 + 90" et a + 90° au lieu de 4 et a, l'angle xQx, sera remplacé par l'angle yOy„ et il en résul-

cos yOy, = b' = cos I cos 4 cos t + sin 4 sin a.

Considérons de même le triangle sphérique dont les trois côtés répondent aux angles NOx, NO*„ sOs,. L'angle opposé au dernier côté est 90» — de plus, on a N0*=4 et NOx, x= 90". En faisant

A = 90« — I, C = 4,>=90», le se réduira donc à

cos xOx, = c = sin • sin 4 î

d'où l'on conclut aussi

cos yOx, = e" == sin • cos 4 >

en mettant 4 + 90° à la place de -l; ce qui change l'oxe Ox dans Oy, et l'angle xOs, dans l'angle y0* ( .

Enfin, dans le triangle sphérique dont les cotés répondent aux angles NOs, N0*„ *0x„ l'angle opposé au dernier côté est égal à • + 90», et l'on a N0*=90° et N0x,=a. Si donc on fait A=90«+ i, C = 90», y — a, • = »0x„ dans l'équation générale, on aura

cos sOx, = o" = — »in • stn *.

En mettant a + 90» a la place de a, dans ce résultat, l'axe Ox, se changera en Oy„ et l'angle «Ox, en sOy,; par conséquent, uous aurons aussi

cos »0y, = V = - «m • cos a.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

Quant au neuvième cosinus c", on •

e" = cos sOi t es co» I.

380. Supposons maintenant que le* axes des coordonnées *„ y„ a„ soient lésâtes principaux qui se coupent au point O; d'après leur définition (n« 388), on aura

fs$dm == 0, = 0, /y,s,dai = 0; («)

et il s'agira de prouver que ces trois équations donnent toujours pour les angles 4, I, des valeurs réelles.

En faisant, pour abréger,

S SB m COS -if — y sin 4,

Y = a cos • sin 4 -f* y cos I oos 4 — » lin I, et substituant les formules (6) dans les équations

*, sa Y sin | + X cos e , y, = Y cos a — X sut • , s, m m sinêsin4 + ysinlcos4 + scotl.

Au moyen de ces valeurs, U première équation (a)

" ifo

sin 2a/ (Xi - Y» ) dm = 2 cos Uf XYrfm (b) et les deux dernières deviennent

cos a/Ya/bn — sin s J \* dm = o,

Sin »/ï;Jrn -J. COS p/Xt^m == 0.

En ajoutant ces dernières équstions après les avoir • cos t et sin a, on par — sin a et oos a,

/Ya 4 Jm = 0, = 0,

qni ne eontiennent plus l'an pie a. J'y mets peur X, Y, s„ leurs valeur, .et je fais

*»-=/; /y*» «y, /Vem^A, /ys*. = fi /sa*. = y', /srysta = Vj

ces six intégrales s'étendant à la masse entière du

lien résulte

Or, ,i

i faisons

(/"sin» 4 + 2A' sin 4 cos 4 + y cos* 4 - A) sin • cos •

+ (y» sin 4 + f cos 4) (cosi I — sin* •) = 0, [»• (cos» 4 — sin» 4 ) + — y ) sin 4 cos 4 ] sin • + («' cos 4 — f «n 4) cos • = 0.

tang 4 = u, sin 4 s=

cos 4 ==

et la

tang I = (r<-ï)lSï+7>

tang »

+ y'« + r = (j'« + /- , )Ung»

Eny

+ P c i - - ) + ( f - f ) - j V « + H = fc^±il£^i^ ,

10a premier membre est la même chose que

[Ay« - yy' + fh> - ( kf' - tf» + ,'A') «] ( l + a» ) ; par conséquent, on aura finalement

Ainsi , les équations (o) sont remplacées par les équations (6), (a), (d). Or , cette dtrnière étant du troisième degré , elle aura au moins une racine réelle; 00 aura donc une valeur réelle de « ou tang I , a laquelle répondront un angle 4 moindre qne £-*,et un aotre égal au premier augmenté de»,

qui appartiendront aux deux parties ON et ON' de l'intersection du plan inconnu des a, et y,, avec le plan donné des m et y. A cause du radical \/\ -f- w> , l'équation(e) donnera ensuite deux valeurs de tang I,

égales et de signe coutraire , qui appartiendront à un angle aigu et à son supplément , et , consé-

t , à l'aie 0», et à son prolongement. Enfin , on tirera de l'équation (a) une valeur réelle de tang 2a , à laquelle répondront deux valeurs do a , dont l'une sera moindre que — « , et l'antre égale

à la première augmentée de -j- ». La première étant

prise pour la

de l'angle M)*,, lai

sera celle de l'angle llOy, ; et , en effet , tout étant semblable par rapport aux deux axes Ox, et Oy, , ils devaient être déterminés par une même équation.

On voit de même que les trois racines de l'équation {<£) devront être réelles , et qu'elles représenteront les tangentes des angles compris entre l'axe Or et les trois droites suivant lesquelles les plans des coordonnée**, , y,, s,, viennent couper le plan des * et y; car ces trois tangentes doivent être données par une même équation , puisqu'on ne saurait exprimer, dans le calcul, aucune ditTé-

i les trois axes principaux dont on che la position.

Nous conclurons donc do cette analyse qu'il existe toujours trois axes principaux rectangulaires qui se coupent en un point donné 0, et qu'en général ce système d'axes principaux est unique. Pour qu'il en existât plusieurs, il faudrait que l'équation (a*) fût d'un degré supérieur au troisième, et qu'elle eût trois fois autant de racines réelles qu'il y aurait do ces systèmes ; mais , dans cert.t ins

cas , les équations dont dépendent les valeurs > , t, deviennent identiques , et alors les axes principaux sont en nombre infini. Nous pourrions déterminer ces cas particuliers par l'e équations dont il s'agit; maison y parvien facilement par les considérations suivantes.

881. D'après les formules (l) et les équations (a), qui caractérisent les axes principaux 0x„ 0y„ 0a„ on a évidemment

fxydm — aa'Jx,*dm + W fy*dm-\- ce'fx,*dm, fxxdm = aa"Jx*dm + M" fy*dm + ee"fx,*dm , Jyxdm=a>a"fx*dm -f- W'Jy'dm + cV/s,»*» .

Or, si les trois intégrales fs,*dm,fy,* dm, fx* dm, sont égales, ces valeurs dejxydm, fxxdm, fytdm, se réduisent à téro, en vertu des trois dernières équations (4); par conséquent, dans oe cas , les droites Os, Oy, Ox, forment un second système d'axes principaux; et comme leur direction reste absolument indéterminée par rapport aux axes 0x„ 0y ( , Oz , il s'ensuit que tous les systèmes d'axe* rectangulaires qu'on peut mener par le point O , sont des axes principaux. Ce cas est celui où les trois momens d'inertie principaux sont égaux ; car, de ce qu'on suppose

f*,' *» = àm — fa dm, il en résulte

/(»,« -f y/) dm = /(*,• + ) •» =y(y,*+ V )

Si deux seulement des trois momens d'inertie principaux sont égaux, par exemple, ceux qui se rapportent aux axes 0x ( et 0y n de manière qu'on ait

/(y,« + x* ) dm = J ( V + a,. ) dm,

il existera encore un nombre infini de systèmes d'axes principaux, qui auront tous unoxe commun, savoir , l'axe 0*,. En effet , dans ce cas, les deux intégrales fy* dm et/*,» dm seront égales; et, en vertu des dernières équations (4) , les valeurs de fxydm , fxxdm ,fyzdm , pourront se mettre sous la

Jxydm = ce' {fx* dm — fx* dm), fxxdm = ce" {fx,* dm — fx* dm), /,.** = c'c'< {fx* dm - fs* dm).

Or, si l'on fait coïncider l'axe Os avec l'axe principal 0s„ les angles xOx, et yOx, seront droits ; on aura donc c = 0 et c' = 0 , et par conséquent ,

fxydm = 0, fxxdm = 0, fyxdm = 0.

l'axe 0a, arbi-

e» de deux autres axes rectangulaires,

trairement par le point 0 dans le plan *f,Ox tt sera un système d'axes principaux.

Enfin , lorsque les trois momens d'inertie principaux sont inégaux, on peut être certain qu'il n'existe qu'un seul système d'axes principaux ; car, soit A le plus grand de ces trois momens inégaux; supposons, pour un moment, qu'il existe un second système d'axes principaux , et désignons par A* le plus grand des trois momens qui s'y rapportent : il faudrait, d'après le théorème du n<> 376, qu'on eût à la fois A> A' et A'> A ; ce qui est impossible, et rend inadmissible la supposition d'un second système d'axes principaux.

382. Les points d'un corps, quand il en existe, pour lesquels les trois momens d'inertie principaux, et, par conséquent, tous les

sont égaux , jouissent , comme on le verra par la suite, d'une propriété remarquable, relativement à la rotation de ce corps. Il est donc utile de les déterminer; et voici comment on y parvient.

Supposons que l'origine des coordonnées x ,y,x, soit placée au centre de gravité du mobile, et que ces coordonnées soient rapportées aux trois axes principaux qui se coupent en ce point; désignons par A , B , C, les momens d'inertie relatifs à ces axes des*, y, x; nous aurons ( n» 368 )

fxdm = 0, fydm = 0, fi dm = 0, fyxdm = (1, jzxdm = 0, fxydm — 0,

/( y* + x* ) dm = A, / ( *• + a. ) dm = B, /( x* + y* ) dm = C,

DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE

toute» ce» intégrale» «'étendant à U

dn mobile.

Soient C , y , les coordonnées il des points demandés, rapportées aux aies des s, y, a, de sorte qu'on ait, pour ce point particulier, * = « , y = C , * = >. Transportons-y l'origine des coordonnées, sans changer la directiou des axes; lescoordonnéesde l'élément dm détiendront s — *,

/(*-•) (y -e)dm=fsfdm f{% — >) (* — m.) dm = fis dm fty-C){>-y)dm=Jysdm

ans qui se réduisent a

«C = 0, >• es 0, Cy = 0,

l précédentes. Or , pour satisfaire a ces , il est nécessaire que deux des trois quantités*, C, y, soient nulle». Si donc le point demandé existe, il ne peut se trouver que sur l'un des aies de» coordonnées * , y , s , c'est-à-dire , sur l'un des qui se coupent au centre de

Je fais C = 0 et y = 0; ce>qui revient à supposer 4e point demandé, sur l'axe de * , à une distance « de ce centre. Alors les momens d'inertie relatifsà ce point , seront A , par rapport à l'axe des * , et, en ▼ertu du théorème du n° 374, B-j-M«« etC-f-H*» , par rapport aux parallèles aux axes des y et des a , en désignant par X la masse du corps. D'après la condition du problème , on aura donc

D + aV = C + H«> = A;

mais pour que ces équations soient possible», il faut qu'on ait B = C ; et quand ces deux quantités seront effectivement égales, on aura

y — < , » — y. lai» si l'on veut que les moment d'inertie relatifs à toutes les droites qui passent par cette nouvelle origine soient égaux, il faut que toutes ces droites soient des axes principaux , puisque, d'après le numéro précédent , Tune de ces conditions est une suite nécessaire de l'autre. Les axes des coordonnées * — » , y — C, s — y, étant donc des axe» principaux , on aura

— mfydm — Cfxdm + u.Cfdm = 0,

— yfxdm — mfsdm + yfdm = 0,

— Cfldm - yfydm + Cyfdm = 0;

les momens d'inertie seront égaus, et dont les posi. lions sont déterminées par la formule (a).

383. En appliquant ces résultats à l'ellipsoïde homogène , on voit que s'il s'agit d'un ellipsoïde quelconque dont les trois diamètres principaux sont inégaux , il n'y aura aucun point , en dedans ou en dehors du corp» , par rapport auquel tous les momens d'inertie «oient égaux ; mai» si l'on considère un ellipsoïde de révolution engendré par une ellipse tournant autour de son petit axe, il y aura deux points sur cet axe ou sur son prolongement f qui jouiront de la propriété dont il s'agit; car, dans ce cas , deux des trois momen» relatifs aux diamètres principaux seront égaux , et le moment inégal répondant au plus petit diamètre, sera le plus grand des trois.

Si l'on appelle a et b les demi-axes de l'ellipse génératrice, et qu'on suppose a < b , de «orte que a soit le demi-axe de révolution , on i

i qu'on ait A > C, afin que la i « «oit réelle. Cela étant, on aura pour a deux valeurs réelles , égales et «V signe contraire,

par conséquent, il existera deux points qui jouiront de la propriété demandée, et seront situés sur l'axe des x , à égale distance de part et d'autre du centre de gravité.

Ainsi , lorsque le» troi» momen» d'inertie A, B, C, d'un corp», relatifs aux axes principaux qui se coupent à son centre de gravité , sont égaux, il n'existe aucun autre point du corps pour lequel les momens d'inertie soient tous égaux; mais si deux de ces trois momens sont égaux , et que le moment iuégal toit le plus grand des troi» , il existe , sur l'axe du at, deux points pour lesquels tous

A=|Mi., B = C=fl(«.+ 4.),

en faisant b — c dans les formules du n° 370 : d'après la formule (•), on aura donc

pour la distance des points demandés au centre de l'ellipsoïde. Selon qu'on aura 6» > 6a« ou ô» < 6a' , ces points se trouveront sur le prolongement de l'axe de révolution , en dehors du corps , ou sur l'axe même, en dedans du corps; dans le cas de i* = 0<p , ces deux points, se trouveront à la surface, et coïncideront avec les pôles de l'ellipsoïde.

Les axes principaux d'un parallélipipède rectangle , qui se coupent à ton centre de gravité , tout évidemment parallèle» a tes arêtes. En appelant donc a, o, c, les demi-longueurs de ses trois côtés adjacens, les momens d'inertie relatifsà ces axes se déduiront de ceux du n° 3A9, qui répondent à ses arête» , en y mettant 2a , 26 , 2c , au lieu de a , o,c,et en retranchant, d'après le théorème du n° 374, le» produits M(6« + c> ),M(c» + «» ), H(a* -\- b* ). De cette manière , on aura

H étant toujours la masse du parallélipipède, dont le volume est maintenant abc. Je suppose donc

qu'on ait b = c , afin de rendre égaux les mometi* d'inertie Bet C,ct; de plus, a < b, pour que A

aoit plut grand que C. L'équation (•) donne alors

et selon qu'o deux poinU i,ksa

*>8«, 6 = ta, * < Es , les seront situés en dehors du