DU MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE AUTOUR DU!» AXE FIXE

$ 1 er . Mouvement d* rotation uni forme

384. Lorsqu'un système de points matériels, liés entre eux d'une manière invariable , tourne autour d'un axe fixe, auquel ils sont aussi invariablement attachés, ils décrivent des cercles perpendiculaires k cet axe , et qui ont leurs centres sur cette droite. Les arcs décrits dans le même temps par deux pointa

de degrés ; leurs vitesses absolues sont entre elles comme leurs distances à cet axe; et Ton appelle rites te angulaire du système, la vitesse absolue des points dont le distance k Taxe est l'unité. En la désignant par », et la distance d'un point quelconque k Taxe de rotation par r, la vitesse absolue de ce point sera r». Cette quantité «, commune a tous tes points , variera avec le temps, quand les points du système seront sonmis k de* forces motrices qui

constante dans le cas du mouvement uniforme , produit par des percussions exercées simultanément sur les différentes parties du système, qui aura ensuite été abandonné k lui-même. C'est de ce dernier cas que nous allons d'abord nous occuper.

385. Soient m, m', m", etc., les masses des points matériela que nous considérons , et r, r', r", etc., leurs distances k l'axe de rotation. Supposons que des percussions simultanées soient exercées sur tous ces points {chacune de ces forces se décomposera en deux antres , l'une parallèle k Paie , l'autre dirigée dans un plan perpendiculaire k cette droite; et l'on pourra faire abstraction de la première, dont l'effet sera évidemment détruit par la résistance de l'axe fixe. Soient dono v, r', r", etc., les vitesses dirigées dans des plans perpendiculaires à l'axe fixe, qui seraient imprimées « m, «V, m", etc., si res points matériels étuient libre». En désignant

par • la vitesse angulaire du système qui en résultera, ces points prendront des vitesses r», r 1 » , r"« , etc. , perpendiculaires k l'axe et aux rayons r, r*, r", etc. , et, d'après le principe du n° 363 , il y aura équilibre entre les quantités de mouvement asr, m v\ mV, etc., prises dans leurs directions données, et les quantités de mouvement circulaire s*r», s*V», m r V» , etc., prises en sens contraire

lieu.

Pour former l'équation de cet équilibre , projetons les points m, as', m", etc., et les directions des vitesses que nous considérons, sur un plan perpendiculaire k Taxe fixe. Soit Os cet axe (fi - . 89) ; faisons passer le plan de projection par le point 0; sur ce plan , soient P la projection de as, PA la projection de la vitesse v, et PN celle de la vitesse n», laquelle est perpendiculaire au rayon r ou OP. Soit aussi p la perpendiculaire OF, abaissée de 0 sur la droite PA ; les momens des forces «w et mrm , projetées suivant PA et Pli , seront mep et s»*» ; et si l'on appelle aussi tV, p", etc. , les perpendiculaire*

abaissées du même point 0 sur les | autres vitesses s»', e", etc., on aura

mr» « -f- «V» « -f» asV» « -f- etc.

= mvp + wlv'ff + ssV'jr" + etc.,

pour l'équation d'équilibre demandée (n° 867).

Lorsque parmi les percussions simultanées, il y en aura qui tendront k faire tourner le système dans un sens, et d'autres dans le sens opposé, il faudra prendre, avec des signes contraires, les momens des unes et des autres dans le second membre de cette équation. Le système tournera dans le sens des forces qui donneront la plus grande somme de momens , abstraction faite du signe. En représentant par L In somme, positive ou négative,

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

de tout cet moment prit avec de* ligne* i blet, on tirera de l'équation précédente

S indiquant une tomme qui t'étend k tons les points du système.

Si toute* les vitesses », »', r", etc., sont égale* , I. sera le produit de leur valeur commune » et de la somme mp + m'pf -f m"p" + etc.; si, de plut , ce* vitesse* tont toutes parallèles entre elles , et qu'on mène par Taie 0*, un plan parallèle k leur direction commune , p, p', p", etc., seront le* distances de* points m, m', m", etc., à ce plan; et, d'après let signes qu'on donnera aux terme* de L , il faudra le* considérer comme positive* ou comme négalivet , selon que les points m, m', m", etc., seront situé* d'un côté ou de l'autre de ce plan. Par conséquent, H désignant la somme des masses m, «V, m", etc., et g la distance positive ou négative de son centre de gravité s ce même plan , non* auront (no 66)

mp + my + mY' + etc. = M, i il en résultera L = Ir^, et la valeur de m devien-

■sy ■ ~~xm7*'

Si la vitesse » est imprimés seulement k une partie de* points du tyttème, et qu'on ne communique directement aucune vitesse a l'autre partie , on de

• = ïi7r J

^ étant 1s tomme des roassea qui ont reçu la vitesse r. et /la distance du centre de gravité de cette psrtie du système au plan mené par l'aie fixe, parallèlement a la direction de v.

386. Supposons actuellement que le système des points m, m', m", etc., soit un corps solide; il suffira alors de changer, dans les formules précéden. tes , la masse m d'un point quelconque dans l'élément différentiel de la masse du corps , que nous représenterons par dm , et la somme 1 en une intégrale. La quantité Jrar» deviendra donc l'intégrale fr* dm, étendue k la masse entière du corps, et elle exprimera son moment d'inertie par rapport k l'axe de rotation ; par conséquent , la dernière formule se changera en celle-ci :

fr* dm x 1

Cette formule se rapportera au cat d'un corps solide retenu par un axe fixe, et frappé par un autre corps qui s attache au premier, de sorte que ces corpt n'en forment plut qu'un seul , tour

nant autour de l'axe fixe avec la vitesse angulaire «. La mette du corps choqnant est /», ta vitesse avant !« choc, qui était commune à tousses points et perpendiculaire a la direction de l'axe fixe, este, et /' exprime la distance de ton centre de gravité k un plan parallèle k cette vitesse et psttant par l'axe de rotation. L'intégrale jr* dm devra l'étendre aox deux masse* réunie* après le choc. Si le corps choquant ne restait pas attaché à l'autre après le choc, la détermination de la vitesse angulaire de celui-ci serait un problème différent, < perons dans un autre chapitre.

qué simultanément par plusieurs masses f*, (*", etc., animée* de vitesses », c*, s", etc., perpendiculaire* à la direction de l'axe , qui se réuniront k ce corps après le choc , on aura , pour la vitesse angulaire qui sera produite ,

pif + «Vf + rVV'r + «te- .

- = Jnlm '

l'intégrale s'étendant k la masse totale, et/,f, P', etc., désignant les distances des centres de gravité de ft , /»', /»"» «te » • des P tan » mené* par l'axe de rotation, parallèlement aux vitesses», s', »",etc. Ayant pris avec le «igne -\- le premier terme du numérateur de cette formule , on prendra les autres termes avec le signe -f- ou avec le signe — , selon que les percussions correspondantes tendront k faire tourner dans le sens de celle qui répond au premier terme , ou dans le sens opposé ; et selon que la valeur de « se trouvera positive ou négative, la rotation aura lieu dans le sens de cette force ou en sens contraire. Quand on aura • = 0, le système restera en repos, et toutes les percussions se feront équilibre. Au lieu d'être simultanées, si elles sont successives, la valeur de • , après tous le* choc* , sera encore donnée par la formule précédente ; car après un premier choc le mouvement est le même k chaque instant , que si ce choc avait lieu actuellement; par conséquent , on peut supposer qu'il ait lieu k l'instant du second choc, pour déterminer la vitesse angulaire aprè* la seconde percussion ; et ainsi de suite.

387. Lorsque le mouvement de rotation cornmence autour d'un axe fixe , cette droite éprouve des percussions qu'il est important de déterminer ; elles sont dues aux quantités de mouvement perdues, à cette époque, par les différens points du mobile, qui se font équilibre au moyen de l'axo fixe, et doivent , conséquemment , se réduire k des percussions dont les directions rencontrent cet axe, ou lui sont parallèles. Le* percussions parallèles se déterminent immédiatement; ce sont les composantes, suivant cette direction , des quantités de mouvement qui ont été imprimées au mobile : nous en ferons abstraction , comme dons le n*S86; et

laire à la direction de Taxe fixe , et auquel répond la formule (1).

Prenons le point P pour le centre de gravité de as et la droite PA pour la direction de sa vitesse avant le choc , de manière que f soit la distance OF de cette droite à Taie Os. Dans le plan perpendiculaire à cet axe fixe , et comprenant la droite PA , menons par le point 0 de cet axe deux autres axes rectangulaires Or et Oy. Soient s, y, s, les trois coordonnées de dm, rapportées aux axes Os , Oy , 0* ; la vitesse rm de ce point matériel étant perpendiculaire au rayon r et parallèle au plan des s et y , il est aisé de voir que les cosinus des angles qu'elle fait avec ces

trois axes sont , — etiéro,en supposant que la

rotation ait lieu dans le sens indiqué par la flèche «; par conséquent, elle se décomposera en deux vitesses — y« et x» , parallèles aux axes 0* et Oy. Les composantes des quantités de mouvement de tous les points du corps suivant ces directions, seront donc — mjydm et ufxdm, ou, ce qui est la même chose, — »Xy,et «Xx^en désignant toujours par H la masse entière après le choc , et représentant par x, et y, les valeurs de x et y qui répondent k son centre de gravité. Les sommes des raomeus de toutes ces quantités de mouvement , par rapport au plan des x et y, seront — mfysdm et mfstdm; elles devront être égales ( n° 54) aux momens des forces totales — mfydm et mfxdm, par rapport au même plan, c'est-à-dire, à — «My,*' et en appelant

*' et a" les distances de ces deux forces à ce plan ; on aura donc

My/ = fyidm, Mx,a" = fxidm , (2)

pour déterminer ces deux quantités a' et a", positives ou négatives.

Cela posé , les quantités de mouvement perdues par tous les points de la masse M , et qui se font équilibre au moyen de l'axe fixe, pourront être remplacées par une force «My„ parallèle à l'axe des x et située à la distance *' du plan des x et y, par une force — «Ix,, parallèle à Taxe des y et située à la distance s" de ce plan, et par la force /*v t à laquelle on conserve sa direction, du point P vers le point A. Ces trois forces se réduiront au moins à deux, qui rencontreront l'axe fixe, et exprimeront les percussions qu'il éprouve , perpendiculairement à sa longueur. Quand elles se réduiront à une seule , l'axe éprouvera une percussion unique, et il suffira que le point où il sera rencontré par cette force soit supposé fixe , pour que cet axe puisse résister.

388. Si la droite Os est un des trois axes principaux de H , qui se coupent au point 0 , on aura

fxidm es 0, fyxdm = 0.

Les distances s' et s" seront donc nulles ; et les forces «My, et — «Xx,, ainsi que la force /ur, étant toutes trois comprises dans le plan des * et y, la percussion unique , à laquelle elles se réduiront ,

passera par le point 0. Pour en déterminer la grandeur et la direction, soient R cette force, a et 6 les angles qu'elle fait avec les axes Ox et Oy , • et C les angles que fait la droite PA avec des parallèles à ces axes , menées par le point P; nous aurons

R cos a = f*x cos a, -f- «Xy, , R cos b = i*v cos C — mMs, ;

et comme la valeur de » est donnée par la formule (l) , et que les coordonnées x, et y, du centre de gravité de H sont aussi connues , il n'y aura rien d'inconnu dans ces valeurs des deux composantes de la force R.

Puisque cette résultante doit passer par le point 0 , il faudra que la somme des momeus de ses trois composantes , par rapport à ce point , soit égale à téro. Or, en désignant par y' et x 1 les distances aux axes 0* et Oy des forces «Xy, et — «Xx J( parallèles i ces droites, et ayant égard au fens dans lequel ces deux forces et la percussion /*» tendront a faire tourner autour du point 0 , on en conclura

f étant toujours la perpendiculaire OF abaisséo du point M sur la droite PA. C'est, en effet, ce qu'il est aUé de vérifier; car en considérant les momens par rapport aux plans des x et a et des y et s , de toutes les quantités de mouvement parallèles à ces plans , dont les sommes sont — «Xy, et «Xx„ on aura

*yy = fy % dm > =fx*dm,

et ces valeurs, jointes à celles de », rendent identique l'équation précédente.

Pour que Taxe fixe n'éprouve aucune percussion, il est aisé de voir qu'il faut d'abord que les distances s' et a" soient nulles; en vertu des équations (2), cela ne peut donc arriver que quand la droite Os est un des axes principaux qui se coupent au point O , ainsi que nous venons de le supposer. Cette condition remplie, il faut , en outre , que la force R soit nulle; ce qui exige qu'on ait

lit cos a = — »Xy, , mo cos C = Mx,.

On en déduit

équation qui exprime que la droite PA doit être perpendiculaire au plan passant par l'axe fixe et par le centre de gravité de H. De plus, en désignant par r, la distance de ce point a cet axe , les équations précédentes donneront

et si l'on met pour « sa valeur fournie par la formule (l) , on en conclura

fn dm

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE

Ainsi , quand nn corps solide , retenu par un axe fixe, est frappé par un second corps dont la nuise demeure attachée à celle du premier, il faut, pour qu'il n'y ait aucune percussion sur Taxe fixe, 1° que le choc soit dirigé dans le plan de deux droites qui font, avec l'axe fixe, un système rectangulaire d'axes principaux du corps formé des deux masses réunies ; 2» que sa direction soit perpendiculaire au plan du centre de gravité de ce corps et de l'axe fixe ; 3* que cette direction PA rencontre ce plan en an peint dont la distance/ 1 à l'axe de rotation est donnée par la formnle précédente. Ce point est ce qu'on appelle le centré de percussion.

389. Pendant qu'un corps solide tourne autour d'un axe fixe, les forces centrifuges de ses différons points exercent sur cet axe des pressions que nous •lions déterminer , et qui sont les seules qui aient lieu dans le mouvement uniforme où les points du mobile ne sont sollicités par aucune force motrice.

En conservant les notations précédentes, on aura r«> dm (n<> 169) pour la force centrifuge de l'élément dm, dont la vitesse est rm , et qui décrit un cercle du rayon r ; et comme cette force est dirigée suivantleprolongementde r, les cosinus des angles

qu'elle fait avec les axes des x, y, *, seront — , — et

xéro. Si donc on la transporte au point ou sa direction rencontre l'axe Os, elle pourra être remplacée par deux forces comprises dans les plans *0s et yOs, parallèles ans axes 0* et Oy, et égales à xm* dm et y«* dm. La même chose ayant lieu pour tous les élémens du mobile, on en conclut que l'axe Om sera tiré , suivant ces directions , par des forces qui auront pour valeurs «* fxdm et «• /y dm , ou, ce qui est la même chose , «> M j , et •» Iy„ d'après les notations précédentes. On voit aussi que les distances s' et s" de ces deux pressions totales, au plan des x et y , seront données par les équations

M z = fsidm, M y , s" =: /y zdm, (3)

inverses des équations (2) relatives aux percussions. Lorsqu'on aura s' == s", les deux pressions*»» Mx j ; m* My„ seront appliquées en un même point de

a ce corps , il y a donc toujours trois droites rectangulaires, passant par ce point, autour desquelles le corps peut tourner , sans que ces axes de rotation se déplacent , et comme s'ils étaient entièrement

Taxe Om; elles se réduiront à une seule force pendiculaire à cette droite , dirigée dans le plan qui I le centre de gravité du mobile, et dont

•> Mr,sera la valeur*, r, tre à l'axe fixe.

Ce cas aura lieu tontes les fois qoe Os sera un des trois axes principaux qui se coupent au point 0. Dans ce cas, les seconds membres des équations (3) seront nuls, et l'on aura s' = 0 et s" = 0. La pression unique que l'axe éprouvera pendant le mouvement de rotation passera donc par le point 0 ; en sorte qu'il suffira que ce point soit fixe, pour que cette pression soit détruite , et que l'axe demeure immobile. Quel que soit le point fixe 0 appartenant à un corps solide, ou lié invariablement

Telle est la propriété relative au mouvement uniforme de rotation , dont jouissent les droites que nous avons nommées axe$ principaux . Elle leur appartient exclusivement; car si le corps tonrne autour d'une droite Os, qni ne soit pas un des trois axes principaux relatifs au point fixe 0 , les deux pressions •> Mar, et •» My, seront, en général, irréductibles à une seule , ou bien, si elles se réduisent à une seule, k cause de*' = s", cette pression unique passera par nn point différent de O ; par conséquent, il faudra qn'un second point, ou l'axe entier, soit supposé fixe, pour que les pressions dues aux forces centrifuges soient détruites , et que l'axe de rotation ne soit pas déplacé pendant le raoovement.

Quand on corps retenu par un point fixe 0 , et qni n'est soumis i aucune force motrice , aura commencé h tourner autour d'un des trois axes qui se coupent en ce point, le mouvement continuera indéfiniment autour de cette droite. Cela aura lien, par exemple, si le mobile est rais en mouvement par un choc dirigé dans le plan des deux autres axes principaux relatifs à ce point 0, puisqn'alors, d'après le numéro précédent , les percussions qu'éprouvera l'axe, dans le premier moment , se réduiront à une seule qui passera par ce point fixe , et sera détraite par sa résistance. Si 0 est un des points particuliers pour lesquels tous les momens d'inertie sont égaux, l'axe autour duquel le corps commencera à tourner sera nécessairement un axe principal ; et, de quelque manière que le corps soit mis en mouvement autour de ce point fixe, l'axe de rotation demeurera immobile. Ainsi, un ellipsoïde de révolution, ou un parallélipipède , retenu par un des points dont nous avons déterminé précédemment la position ( n° 383) , tournera toujours autour d'un axe immobile. Il en sera de même à l'égard d'une sphère dont le centre est fixe j ou d'un cube retenu par le point situé à l'intersection de ses trois diagonales ; et de plus , dans ces deux derniers cas , le point fixe étant le centre de gravité , l'axe de rotation demeurera encore immobile, quoique le corps soit pesant. Dans le cas général , les forces motrices qui agiront sur le mobile, produiront, comme les forces centrifuges, des pressions sur l'axe de rotation , qui contribueront à le déplacer, quand elles ne se réduiront pas à une seule force passant par le point fixe.

390. Si la droite 0s est un des trois axes principaux qui se coupent au centre de gravité G du corps que l'on considère, elle sera encore un des trois axes principaux do ce même corps au point quelconque 0 de sa direction. En effet , soit y la distance OG de ce centre au point 0. Sans changer la direction précédente des coordonnées * , y, s, transportons leur origine au point G ; celle de l'élément quelconque

dm deviendront * , y , s — y ; et , d'après U défini tion des axes principaux , on aura

Jx (x — y) dm — fxsdm — y fxdm = 0, fy (s — y) dm = fyxdm — y fydm = 0.

Do plus, le point G étant sur l'aie des », on a fxdm = 0 et fydm = 0 ; il en résulte donc fxidm = 0 et /ysdm = 0 ; d'où l'on conclut que Os est un des trois axe» principaux qui se coupent au point 0.

On déterminera la direction des denx autres oxes principaux dans le plan des * et y, par la transfor-

mation des coordonnées. Soient m' et y' celles de dm par rapport à ces deui autres axes ; il faudra qu'on ait

fx^dm = 0, fs'xdm = 0, fy'xdm = 0 ;

mais si l'on appelle • l'angle compris entre Taie des s' et celui des * , on aura

*' = s cos I — y sin • , y' = x s i n t -}- y c o s 8 ,

or, en substituant ces valeurs dans les équations précédentes, les deux dernières disparaissent à cause de fxidm = 0 et jyxdm = 0 ; la

devient

(ces» 6 - sin. I) Jxydm + sin I cos I (/#. dm - dm) = 0;

fixe 0s (6g. 90). Par un point 0, pris arbitrairement sur cette droite, menons deux autres axes fixes Os et Oy, perpendiculaires entre eux et a l'axe 0a ; et au bout du temps queloouque t. désignons par * , y, m, les trois coordonnées de dm, rapportées à ces 0*, Oy, Os. Au même instant, les composantes

et i'on en tirera la valeur de ». Les intégrales que cette équation renferme pourront changer de valeur avec la position du point 0; en sorte que le long de l'axe 0s, les deux autres axes principaux ne seront pas, en général, parallèles à eux-mêmes.

/,dm = 0, fxxdm = 0, /ydm = 0, /y»dm = 0,

ayant lieu en même temps, il suit des deux premières que les pressions parallèles et comprises dons le plan des * et s , qui proviennent des forces centrifuges, se réduisent à deux forces égales et directement opposées; et en vertu des deux dernières équations, la même chose a lieu à l'égard des composantes comprises dans le plan des y et s. Par conséquent , lorsqu'un corps tourne autour de l'un des trois axes principaux qui se coupent à son centre de gravité, les forces centrifuges de tous ses points ne produisent aucune pression sur l'axe de rotation ; et si le mouvement a commencé autour d'un tel axe, il continuera indéfiniment , sans que cette droite ait aucun point fixe, en supposant toujours qu'aucune force motrice n'agit sur le mo-

f.c résultat est évident dans le cas d'un ellipsoïde tournant autour d'un de ses trois axes de figure ; car tout étant symétrique autour de chacune de ces droites, il n'y aurait pas de raison pour qu'elle éprouvât une pression daus un sens plutôt i le sei

391. Soit toujours dm un de la masse du mubile, tournant autour de l'axe

de la vitesse, parallèles à ces droites, seront — ,

dy dt

— , — . Or, quelles que soient les forces appliquées dt dt

à l'élément dm , je les décompose parallèlement k ces mêmes axes j et , au bout du temps t, je désigne par X , Y, S , les composantes suivant les * , y , s , positives, de la force accélératrice donnée qui agit sur ce point matériel. Si ce point était libre, les dx dy ds

composantes — , — , — , de la vitesse , augmendt dt dt

te raient de Xdf, Yd/, Idt , pendant l'instant dt (u» 147) ; mais ces fonctions du temps augmentent

ds dy dx -,d.-,d.-; dt dt dt

stant dt, suivant les directions des coordonnées , sont

dx dy dx

Xdf-d.-, Ydr-d., Idt-dt. — dt dt dt

En les multipliant par dm, et divisant par dt, on

pour les composantes de la force perdue par l'élément dm , pendant cet instant dt, à raison de sa liaison avec les antres points du corps et avec l'axe de rotation. Donc , en vr-rtu du principe du n» 360, l'équilibre devra avoir lieu autour de cet axe fixe ,

entre de semblables forces appliquées à tous les points du mobile.

Pour former l'équation de cet équilibre , il suffira <le mettre lea deux premières des trois forces précédentes à la pluce de P eus • et P cos C , dans

DTPIASIIQUB , SECONDE PARTIE.

lo premier terme de l'équation (5) du n» 266, et d'égaler ensuite à séro la somme des valeurs de cette quantité, pour tous les points du corps , laquelle somme sera une intégrale étendue à la r entière. En faisant passer les différentielles dans le premier membre et les forces données dans le second , nous aurons , de cette

pour l'équation demandée , qui sera celle dn : vement de rotation autour de Taxe des «.

392. Soit « la vitesse angulaire au bout du temps t; et supposons que l'on considère cette quantité comme positive ou comme négative, selon que le mouvement de rotation aura lieu dans le sens indiqué par la flèche », ou dans le sens opposé. Soit aussi rie rayon du cercle que décrit dm, ou la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe 0* j sa vitesse absolue sera r», et l'on

cette droite , on pourra faire abstraction de la première, qui ne peut contribuer au mouvement do rotation ; la seconde , que j'appellerai a, sera la résultante de X et Y. Je projette les trois forces X , Y, a, sur le plan des * et y; je suppose que PC soit la direction de a ainsi projetée; et j'appelle h la perpendiculaire OH abaissée du point 0 sur PC on sur son prolongement. En considérant les i par rapport au point 0, on aura (n° 46)

dt dt

pour les valeurs de ces deux composantes. En effet, si P est la projection de dm sur le plan des * et y, et qu'on tire le rayon OP et la perpendiculaire QPP' à OP, Inquelle coupe en Q et Q' les axes 0* et Oy, on aura

OP — r, cos srQP

: cos yO/P' = — ;

et comme la vitesse r» sera parallèle à la droite QPP*, ce sera par ces cosinus qu'il faudra la multiplier, pour avoir les valeurs de ses ds dy — et—.

dt dt

t que a» + y» = r» , on déduit de

sdy — ydr = r» mdt. (2)

Je différent ie par rapporté <; à cause que le rayon r est constant, on a

*d» y — y* m = r* dmdt}

et dm étant une quantité commune à tous les points du corps, qui doit être regardée comme constante dans l'intégration relative à dm , l'équation (1) de-

-/r.d»=/(,Y-,X)dm ; (3)

ce qui fera connaître la valeur de do, correspondante à une position donnée du mobile.

Si l'on décompose la force accélératrice qui agit sur dm en deux autres, l'une parallèle à l'axe Oa, et l'autre comprise dans un plan perpendiculaire à

que la force a tendra à faire tourner dana le i de la flèche a, ou dans le sens opposé. J'appelle aussi J l'angle Q/PC que fait la droite PC avec la perpendiculaire PQ' au rayon OP, menée dans le sens indiqué par la flèche a. Cet angle sera aigu ou obtus, selon qu'on devra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur dans l'équation précédente \ a cause de OP = r, on aura donc toujours

±k = f cos J; et, an moyen de ces valeurs, l'équation (3) de-

■ fr* cos / dm.

Or, si les forces données n'agissent sur le mobile que pendant un temps très court; qu'elles soient néanmoins capables de produire, pendant cet intervalle de temps , des vitesses données qui no soient pas très petites ; et que pendant ce même temps les directions de ces forces, non plus que les positions des points du mobile , ne changent pas sensiblement , on aura , en intégrant par rapport a t les deux membres de cette équation ,

mfr* dm =r frv cos t dm]

v étant l'intégrale ftdt pendant la durée de l'action des forces, c'est-à-dire, la vitesse que la percussion exercée sur dm imprimerait à ce point matériel , s'il était entièrement libre. Cette équation est celle du mouvement uuiïorme de rotation , et l'on en déduira, sans difficulté, les formules du

le mouvement varié, l'équation (3) se change en une équation différentielle du second ordre, de laquelle dépend la position du mobile h chaque instant, et sa vitesse en fonction du temps, ainsi qu'on le verra tout a l'heure par un exemple ; mais auparavant il convient de déterminer les pressions que l'axe de rotation éprouve pendant la durée du mouvement.

393. Je considérerai seulement les pressions perpendiculaires à cet axe Os, qui sont ducs aux composantes parallèles aux axes Ox et Oy, des forces perdues par tous les points du mobile , dont les résultantes devront couper l'axe fixe.

TRAITÉ DE MECANIQUE, de toutes ce»

En appelant U et Vie» sommes rces.on aura , d'aprè. »• °° 391 1

et si Ton désigne par « et v le» distance» de» force» totale» U et V an plan de. • et y , on aura aussi

ds dy

En vortu de» «leur, précédente» de — et —,

d» s dt*

dm dy dm 7t ~~ * dt ~ ' di

dp dt dt dt

J'élimine- au moyen de l'équation (3) ; je

gne par x, et y, le.

au centre de gravité du i de sorte qu'on ait

fsdm = M*„ fydm = My,;

en substituant en.uite le» valeur, de - et —

do dt*

Quand la vite.se angulaire « sera connue, ce. équations feront connaître les pressions U et V parallèles aux aies 0* et Oy, que l'axe 0» aura à supporter, et le» distances m et » comprises entre le point 0 et les points d'application de U elV sur cet axe. Lorsque les forces X et Y sont nulles, ces résultats coïncident avec ceux du n« 389. Quand la droite 0» passe par lo centre de gravité du mobile, on a s, = 0 et y, = 0, et , conséquemment ,

U =J\dm, Y = ftdm ,

en sorte que la charge totale de l'axe fixe est la même que dans l'état d'équilibre; mais elle est, en général , autrement distribuée. Si l'axe fixe est, en outre, un des axes principaux qui se coupent au centre de gravité, on a aussi fstdm =fyxdm I ; il en résulte

U*»=/*Xde.i V. =frtdm,

et U charge de l'axe se trouve partagée, dans l'état de mouvement, comme dans l'état d'équilibre.

394. Appliquons actuellement l'équation (3) au cas d'un corps pesant , tournant autour d'un axe horizontal.

Si l'on désigne par g la pesanteur, et qu'on suppose l'axe Oy vertical et dirigé dans le sens de cette force , on aura

et, à cai duira à

de Jxdm = M*„ l'équation (3) se té-

— fr* dm = yMx,

Au bout du temps *, désignons par • Panglecempris entre le plan mobile qui passe par le centre de gravité du corps et le plan fixe des y et m ; angle

négatif, selon que le plan mobile se trouvera, relativement au plau fixe , du côté de l'axe des x positives ou du côté opposé. Soit a la distance co stante du centre de gravité à l'axe 0* } on aura

de la vitewe positive ou i

et, d'après le galiv«,on

ce qu'on déduit également de l'équation (a), appliquées centre de gravité, c'e»t-a-dire, aux valeur* x sin I, y co» • , a, de *, y, r. Soit enfin MA» le moment d'inertie du corps par rapport à un axe passant par son centre de gravité et parallèle à Ox ; k sera une ligne de grandeur donnée; et, d'après le théorème du n° 374 , nous aurons

fr* dm = H [a* + *• ),

DYNAMIQUE, SECOKDB PARTIE.

d'inertie par rapport à Taxe de ro-

Au moyen de ces * ni eu m de w n », fr*dm, 1 équa- (4) devient

rf. t ça «in I

HT" a»+*«

En multipliant par 2dl, et intégrant, on aura donc

dl» Zga cm I

AT" a. + *. ~ e;

• étant la constante arbitraire. Si Tôt qu'on ait , k l'origine du mouvement ,

2</ a coa

et il en

,lun Zga (coa • —

Cette équation est celle du mouvement d'un pendule de forme quelconque , tournant autour d'un axe horizontal. Dans son état d'équilibre, le plan passant par son centre de gravité et par l'aie fixe est horizontal , et l'on i. = 0,n = 0, » = 0. On écarte le corps de cette position , de sorte que ces deux plans comprennent un angle donné •. Si on l'abandonne ensuite à lui-même, on auraft=0j si, au contraire, le mobile éprouve une percussion k l'origine de son mouvement, la vitesae initiale Cl devra être déterminée par les règles du n° 386 , ou donnée d'une manière quelconque ; et, dans tous les cas, l'équation (a) fera connaître la vitesse angulaire du mobile à un instant quelconque d'après la position de son centre de gravité. En la résolvant par rapport à dt, et intégrant , on aura la valeur de t en fonction de I, ou réciproquement ; ce qui déterminera la position variable de ce centre, et , par

396. Si ce corps pesant se réduit a un point matériel , attaché k l'axe Os par un fil ineitensible et inflexible, dont on néglige la masse, et qui soit perpendiculaire iOf, on aura le cas du pendule simple , d'après la définition du n° 179. En appelant /sa longueur, onouraa = /;M sera la masse du point matériel; et le moment d'inertie M ( a» + *• ) devra se réduire au produit de cette masse et du carré de sa distance / k l'axe fixe. On aura donc k = 0 ;

t, l'équation (o), appliquée k ce cas